3.1空间向量及其运算第1课时(选修2-1).doc

§3.1　空间向量及其运算 §3.1.1 空间向量及其加减运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等 方面也有着广泛的应用。在人教 A 版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意 与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。 【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问 题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】：空间向量的概念和加减运算 【教学难点】：空间向量的应用 【课前准备】：Powerpoint 课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一．情景引 入 （1）一块均匀的正三角形的钢板所受重力为 500N，在它的 顶点处分别受力 F ，F ，F ，每个力与同它相邻的三角形的两 边之间的夹角都是 60 ，且|F |=|F |=|F |=200N，这块钢板在 这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起 这块钢板？ （2）八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点？ 从实际生活的例子 出发，使学生对不共面的 向量有一个更深刻的认 识。说明不同在一个平面 内的向量是随处可见的。 二．新旧知 识比较 让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是 只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。 请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、 零向量、单位向量、相反向量、相等向量。 请学生比较与平面向量的异同。 向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上 的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间 中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和 知识就可以迁移到空间图形中。 （1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量。 如图，对于空间任何两个向量 ，可以从空间任意一点 O 出 发 作 ， 即 用 同 一 平 面 内 的 两 条 有 向 线 段 来表示 通过比较，既复习了平面 向量的基本概念，又加强 了对空间向量的认识，注 重类比学习，提高学生举 一反三的能力。 1 2 3 o 1 2 3 ba, bOBaOA == , OBOA, ba,三．类比推 广、探求新 知 （2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四 边形法则，同样对于空间任意两个向量 都看作同一平面内的 向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和 减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下： 如图，可以从空间任意一点 O 出发作 ，并 且从 出发作 ，则 . 探索 1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索 2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选 2-1》课本 P92 探究题 归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。 例 1：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并 标出化简结果的向 量。(如 图) 让学生知道，数学中 研究的向量是自由向量， 与向量的起点无关，这是 数学中向量与物理中矢 量的最大区别。 空间三个或更多的 向量相加，不能同时将这 些向量都用同一个平面 上的有限线段来表示，但 仍然可以用将它们依次 用首尾相接的有向线段 来表示，得到它们的和。 比 如 ： 三 个 向 量 的 和 , 一般地,空间中多个依次 用首尾相接的有向线段 相加的结果等于起点和 终点相连的有向线段。我 们常常把向量的这种性 质 简称为“封口向量”。 四．练习巩 固 1．课本 P92 练习 1-3 2．如图，在三棱柱 中，M 是 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1） ; 巩固知识，注意区别加减 法的不同处. b a b D B AO C b a b D B A C O C ba, bOBaOA == , A bAC = BAbaOCba =−=+ , ADCDBCAB =++ ADCDBCAB =++ 111 CBAABC − 1BB 1BACB + 1)2( )1( AAADAB BCAB ++ +（2） ; （3） 解：（1） （2） （3） 五．拓展与 提高 1．已知空间四边形 ，连结 ，设 分别是 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1） ； （2） ； （3）． 加深对相等向量和加减 法的理解 六．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 七．作业 课本 P106 习题 3.1，A 组 第 1 题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字 0 与空间向量 0 的区别与联系。 答：空间向量 0 有方向，而数字 0 没有方向；空间向量 0 的长度为 0。 3．三个向量 a,b,c 互相平行，标出 a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱 中，M 是 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1） ; （2） ; （3） 1AACBAC ++ CBACAA −−1 11 CABACB =+ 11 ABAACBAC =++ 11 BACBACAA =−− ABCD ,AC BD ,M G ,BC CD AB BC CD+ +   GCBDAB ++ GADGCM −+ 111 CBAABC − 1BB 1BACB + 12 1 AACBAC ++ CBACAA −−1 B C D M G A解：（1） （2） （3） （中等题） 5．如图，在长方体 中， ，点 E,F 分别是 的中点， 试用向量 表示 和 解： 。 6．在上题图中，试用向量 表示 和 解： = = ， =-- =-- 11 CABACB =+ AMAACBAC =++ 12 1 11 BACBACAA =−− /// BDCAOADB − 3 , 4 , 2 ,OA i OB j OC k= = =      //, BDDB kji ,, OE OF jiOE 42 3 += kjiOF 242 3 ++= kji ,, EF FE EF OEOF − k2 FE EF k2