3.1空间向量及其运算第4课时(选修2-1).doc

§3.1.4　　空间向量的正交分解及坐标表示 【学情分析】： 本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理 这种推广对学生学习已无困难 但仍要 一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间 这样做，一方面复习了平面向量、 学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能 力。 【教学目标】： （1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面 （2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理 （3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解 【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用 【教学难点】：空间向量的分解 【课前准备】：课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一．温故知新 回顾平面向量的正交分解和平面向量的基 本定理 由此为基础，推导空间向量 的正交分解和基本定理 二．新课讲授 1．空间向量的正交分解 设 ， ， 是空间的三个两两垂直的向量， 且有公共起点 O。对于空间任意一个向量 ，设 Q 为点 P 在 ， 所确定的平 面上的正投影，由平面向量基本定理可知， 在 ， 所确定的平面上，存在实数 z， 使得 而在 ， 所确定的平面上，由平面向量基 本定理可知，存在有序实数对 ，使得 从而 由此可知，对空间任一向量 ，存在一个有 序实数组{ }，使得 ， 称 ， ， 为向量 在 ， ， 上 的分向量。 2．空间向量的基本定理 如果三个向量 不共面，那么对空 以平面向量的基本定理为基 础，层层递进，得到空间向 量的正交分解形式。i j k OPp = i j OQ k kzOQOP += i j ),( yx jyixOQ += kzjyixkzOQOP ++=+= p zyx ,, kzjyixp ++= ix jy kz p i j k cba ,,间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使 由此定理， 若三向量 不共面，那 么空间的任一向量都可由 线性表示， 我 们 把 { } 叫 做 空 间 的 一 个 基 底 ， 叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构 成空间的一个基底 如果空间一个基底的三个基向量两两 互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特 别 地 ， 当 一 个 正 交 基 底 的 三 个 基 向 量 都是单位向量时，称这个基底为单 位正交基底，对空间任一向量 ，存在一个 唯 一 的 有 序 实 数 组 ， 使 记 推论：设 是不共面的四点， 则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序 实数 ，使 注意介绍单位正交基、正交 基、基的特殊与一般的关系， 以帮助学生理解概念。 三．典例讲练 例 1． 如图，已知空间四边形 ，其 对 角 线 ， 分 别 是 对 边 的中点，点 在线段 上，且 ，用基底向量 表 示向量 向量的分解过程中注意向量 的运算的正确使用。 p ),,( zyx czbyaxp ++= cba ,, cba ,, cba ,, cba ,, 321 ,, eee p ),,( zyx 321 ezeyexp ++= ),,( zyxp = , , ,O A B C P , ,x y z OP xOA yOB zOC= + +    OABC ,OB AC ,M N ,OA BC G MN 2MG GN= , ,OA OB OC   OG解： ∴ 四．练习巩固 1、如图，在正方体 中，， 点 E 是 AB 与 OD 的交 点,M 是 OD/ 与 CE 的交点， 试分别用向量 表示 和 解： 课本 P102 练习 1、2、3 五．拓展与提高 1．设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u＝ ，v＝ ，w＝ ，则 u、v、w 三个向量 （ ） 充分认识基底的特征，即线 性无关的三个向量就可以构 成空间的一个基底。 OG OM MG= +   2 3 1 2 ( )2 3 1 2 1 1[ ( ) ]2 3 2 2 1 1 1( )2 3 3 1 1 1 6 3 3 OM MN OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC = + = + − = + + − = + + − = + +                 1 1 1 6 3 3OG OA OB OC= + +    /// BDCAOADB − OCOBOA ,, OD OM OCOBOAOD ++=/ OCOBOAOM 3 1 3 1 3 1 ++= AD BC+  AB CD+  AC BD+  A B C O M N GA．互不相等 B．至多有两个相 等 C．至少有两个相等 D．有且只有两个 相等 2．若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各 组 ①la、mb、nc(lmn≠0)； ②a+2b、2b+3c、3a－9c； ③a+2b、b+2c、c+2a； ④a+3b、3b+2c、－2a+4c 中，仍能构成空间基底的是 （ ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 3．已知 分别是空间四边形 的边 的中点， （1）用向量法证明 四点共面； （2）用向量法证明： //平面 ； （3）设 是 和 的交点，求证： 对空间任一点 ，有 六．小结 1．正交分解的推导和空间向量基本定理 2．如何将向量用坐标表示 3．任意空间向量在某组基底下的分解 七．作业 课本 P106 习题 3.1 第 6 题 练习与测试： （基础题） HGFE ,,, ABCD DACDBCAB ,,, HGFE ,,, BD EFGH M EG FH O 1 ( )4OM OA OB OC OD= + + +     O M GF A B C D E HE M G D C BA 1 如图，在正方体 中，，点 E 是 AB 与 OD 的交 点,M 是 OD/与 CE 的交点，试分别用向量 表示 和 解： 2 ． 设 向 量 是 空 间 一 个 基 底 ， 则 一 定 可 以 与 向 量 构 成 空 间 的 另 一 个 基 底 的 向 量 是 （ ） A． B． C． D． 3．设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u＝ ，v＝ ，w＝ ，则 u、v、w 三个向量 （ ） A．互不相等 B．至多有两个相等 C．至少有两个相等 D．有且只有两个相等 4．若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各组 ①la、mb、nc(lmn≠0)； ②a+2b、2b+3c、3a－9c； ③a+2b、b+2c、c+2a； ④a+3b、3b+2c、－2a+4c 中，仍能构成空间基底的是 （ ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 5．设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD 是 ( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 6．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 ＝ ， 则 x＋y＋z＝ ． 7．在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE＝3ED， 以｛ ， ， ｝为基底，则 ＝ ． （中等题） 8．已知四面体 中， 两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ） (1). (2). (3). (4). 不一定成立的是 . 9.已知非零向量 不共线，如果 ，求证：A、B、C、D 共 面。 /// BDCAOADB − OCOBOA ,, OD OM OCOBOAOD ++=/ OCOBOAOM 3 1 3 1 3 1 ++= },,{ cba baqbap −=+= , a b c ba或 AD BC+  AB CD+  AC BD+  0=⋅ ACAB 0=⋅ ADAC 0=⋅ ADAB BD xAB yAC zAS+ +   AB AC AD GE ABCD , ,AB AC AD | | | |AB AC AD AB AC AD+ + = + −      AB CD AC BD AD BC⋅ = ⋅ = ⋅      ( ) 0AB AC AD BC+ + ⋅ =    2 2 2 2| | | | | | | |AB AC AD AB AC AD+ + = + +      21 e，e 1 2 1 2 1 2, 2 8 , 3 3AB e e AC e e AD e e= + = + = −        