高中数学 （2.5.2 向量在物理中的应用举例）教案 新人教A版必修4.doc

2.5.2 向量在物理中的应用举例 整体设计 教学分析 向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向 线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联 系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是 解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理 问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等 都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它 们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3) 功即是力与所产生位移的数量积. 用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之 相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解 决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用 向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得 出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时, 注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型 对抽象的数学概念的支撑作用. 三维目标 1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究 物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念 和向量运算的认识. 2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会 数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的 数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 重点难点 教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归 纳利用向量方法解决物理问题的基本方法. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间 的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的 呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的 企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课. 思路 2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有 大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物 理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在 物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研 究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例 例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠 上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 活动:这个日常生活问题可以抽象为如图 1 所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边 形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就 转化为数学中的向量问题.只要分析清楚 F、G、θ 三者之间的关系(其中 F 为 F 1、F2 的合 力),就得到了问题的数学解释. 图 1 在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ 之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量 在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模 型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理 论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 通过上面的式子,我们发现:当 θ 由 0°到 180°逐渐变大时, 由 0°到 90°逐渐变 大,cos 的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即 F1,F2 之间的夹角越大越费力,夹角 越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上 做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成 模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型, 为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是 向量工具优越性的具体体现. 变式训练 某人骑摩托车以 20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为 40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速. 图 2 2cos2 || || ||2 1 2cos 1 θ θ G F G ⇒= 2 θ 2 θ解:如图 2 所示.设 v1 表示 20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为 v,那么此人所感到的风速为 v+(-v1)=v-v1. 令 =-v1, =-2v1,实际风速为 v. ∵ + = , ∴ =v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵ + = , ∴ =v-2v1, 这就是当车的速度为 40 km/h 时,骑车人感受到的风速. 由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC, ∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°. ∴DA=DC= BC=20 . ∴|v|=20 km/h. 答:实际的风速 v 的大小是 202 km/h,方向是东南方向. 例 2 如图 3 所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子 弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度 h.设子弹和砂箱的质量分别为 m 和 M,求子弹 的速度 v 的大小. 图 3 解:设 v0 为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以 m|v|=(M+m)|v0|. ① 由于机械能守恒,所以 (M+m)v02=(M+m)gh. ② 联立①②解得|v|= 又因为 m 相对于 M 很小,所以|v|≈ , 即子弹的速度大小约为 . 知能训练 1.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经 过 小时,该船实际航程为( ) A.2 km B.6 km C. km D.8 km AB AC DA AB DB DB DA AC DC DC 2 2 2 2 1 .2ghm mM + ghm M 2 ghm M 2 3 15 84图 4 2.如图 4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力 F,则 F=___________. 3.一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成 30°角,求水流速度与船的实际速度. 解答: 1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2. (5,4) 图 5 3.如图 5 所示,设 表示水流速度, 表示船垂直于对岸的速度, 表示船的实际速 度,∠AOC=30°,| |=5 km/h. 因为 OACB 为矩形,所以| |=| |·cot30°=| |·cot30°=53≈8.66 km/h, | |= = =10 km/h. 答:水流速度为 8.66 km/h,船的实际速度为 10 km/h. 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. 课堂小结 1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量; ②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; ③)动量 mv 是数乘向量,冲量 ΔtF 也是数乘向量; ④功是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F·s. 作业 41 OA OB OC OB OA AC OB OC 30cos || OA 2 3 351.课本习题 2.5 A 组 3、4,B 组 1、2. 2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量. 设计感想 1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学 问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和 回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上. 而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确 把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后 利用向量知识解决这个向量问题. 2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学, 领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而 简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出 解题思路,再给出解法,就足以说明这一点. 3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一 点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具 有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.