高中数学 （3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式）教案 新人教A版必修4.doc

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 整体设计 教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一 步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、 正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过 对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通 过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生 运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题 的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中 α、β 关系的特殊情形 α=β 时 的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式 的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引 导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体 情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为 复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改 精神. 三维目标 1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内 在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力. 2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会 化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握 联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的 能力. 3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现 和勇于探索的科学精神. 重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公 式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互 相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公 式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由 此展开新课. 思路 2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若 sinα= ,α∈( ,π),求 sin2α，cos2α 的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα 的， 5 3 2 π以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角 α、β 会有特殊关系 α=β 吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的 C2α 公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？ ⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？ ⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后 两 人 为 一 组 ， 做 填 数 游 戏 ： sin( )=2sin( )cos( ) ， cos( )=cos2( )-sin2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想 C2α 还有哪些变形？ ⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα 吗？cos2α=2cosα 吗？tan2α=2tanα？ 活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公 式，提醒学生注意公式中的 α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇 妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 α,β 会有相等这个特殊情况，教师就此 进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学 生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写， 最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师 要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生 的思维空间，为学生将来遇到的 3α 或 3β 等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα（S2α）; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α(C2α); tan(α+β)= 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公 式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教 师适时提出问题③，点拨学生结合 sin2α+cos2α=1 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示 为以下右表中的公式. 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了 α 的三角 函数与 2α 的三角函数之间的关系. 问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首 先公式左边角是右边角的 2 倍；左边是 2α 的三角函数的一次式，右边是 α 的三角函数的 二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式. 问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观 察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词 )(tan1 tan22tantantan1 tantan 22 αα ααβα βα T−=⇒− +时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函 数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角 α 没有限制，都是 α∈R.但公式(T2α)需在 α≠ kπ+ 和 α≠kπ+ (k∈Z)时才成立，这 一条件限制要引起学生的注意.但是当 α=kπ+ ,k∈Z 时,虽然 tanα 不存在,此时不能用 此公式，但 tan2α 是存在的,故可改用诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二 倍的形式,其他如 4α 是 2α 的二倍, 是 的二倍,3α 是 的二倍, 是 的二倍， -α 是 - 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. 例如:sin =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生 引起足够的注意.如:sin3αcos3α= sin6α，4sin cos =2(2sin cos )=2sin , =tan80°，cos22α-sin22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα. 若 sin2α=2sinα,则 2sinαcosα=2sinα,即 sinα=0 或 cosα=1,此时 α=kπ(k∈Z). 若 cos2α=2cosα,则 2cos2α-2cosα-1=0,即 cosα= (cosα= 舍去). 若 tan2α=2tanα,则 =2tanα,∴tanα=0,即 α=kπ(k∈Z). 解答：①—⑧（略） 应用示例 思路 1 例 1 已知 sin2α= ,