3.1空间向量及其运算第5课时(选修2-1).doc

§3.1.5　　空间向量运算的坐标表示 【学情分析】： 平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空 间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是 在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。 【教学目标】： （1）知识与技能：能用坐标表示空间向量 （2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。 【教学重点】：空间向量的坐标运算 【教学难点】：空间向量的坐标运算 【课前准备】：课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一．温故知新 平面向量的坐标运算 二．新课讲授 1．空间向量的直角坐标运算律 （1）若 ， ，则 ， ， ， （2）若 ， ，则 ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2．数量积：即 = 3．夹角： ． 4．模长公式：若 ， 则 ． 5．平行与垂直： 注重类比学习，举一反三， 在平面向量中有坐标运算， 空间向量中也有，运算规律 和结论的本质是一样的。 1 2 3( , , )a a a a= 1 2 3( , , )b b b b= 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b+ = + + +  1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b− = − − −  1 2 3( , , )( )a a a a Rλ λ λ λ λ= ∈ 1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z 2 1 2 1 2 1( , , )AB x x y y z z= − − − ba ⋅ 332211 bababa ++ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos | | | | a b a b a ba ba b a b a a a b b b + +⋅⋅ = = ⋅ + + + +      1 2 3( , , )a a a a= 2 2 2 1 2 3| |a a a a a a= ⋅ = + +  C1 D1 B1A1 C D A B F1 E1 C1 D1 B1A1 C O A B F E 6．距离公式：若 ， ， 则 ， 或 ． 三．典例讲练 例 1．如图，在正方体 中， ， 分 别是 ， 的一个四等分点，求 与 所成的 角的余弦值。 解：不妨设正方体的棱长 为 1，分别以 ， ， 为单位正交基底建立空 间直角坐标系 ， 则 ， ， ， 所以 ， ， ， 所以 ， 因此， 与 所成角的余弦值是 例 2．如图，正方体 中， ， 分别是 ， 的中点， 求证： 证明：不妨设正方体的棱长为 1，分别以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ， 则 ， 所以 ， 将空间向量的运算与向量 的坐标表示结合起来，不仅 可以解决夹角和距离的计 算问题，而且可以使一些问 题的解决变得简单。 1 1 2 2 3 3// , , ( )a b a b a b a b Rλ λ λ λ⇔ = = = ∈  00 332211 =++⇔=⋅⇔⊥ bababababa 1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z= = − + − + −  2 2 2 , 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A Bd x x y y z z= − + − + − 1111 DCBAABCD − 1E 1F 11BA 11DC 1BE 1DF DA DC 1DD Oxyz )0,1,1(B )1,4 3,1(1E )0,0,0(D )1,4 1,0(1F )1,4 1,0(1 −=BE )1,4 1,0(1 =DF 4 17|| 1 =BE 4 17|| 1 =DF 16 15 11 =⋅ DFBE 17 15,cos 11 >=< DFBE 1BE 1DF 17 15 1111 DCBAABCD − E F 1BB 11BD 1DAEF ⊥ DA DC 1DD Oxyz )2 1,1,1(E )1,2 1,2 1(F )2 1,2 1,2 1( −−=EF又 ， ，所以 ， 所以 ， 因此 ，即 四．练习巩固 课本 P105 练习 1，2，3 五．拓展与提高 1．如图在正方体 AC1 中，M、N 分别是 AA1、BB1 的中点， 求直线 CM 与 D1N 所成的角。 2．已知三角形的顶点 A（1，－1，1），B（2，1，－1），C （－1，－1，－2），这个三角形的面积是（ ） A. B. C.2 D. 3．已知点 A（1，2，3），B=（2，1，2），P（1，1，2）在 直线 OP（或延长线上）取一点 P，使 最小，求 S 的坐标及最小值. 解：设 S（k,k,2k)为 OP 上一点，则 =(1－k,2－k,3－2k) =(2－k,1－k,2－2k) ∴ =(1－k)(2－k)+(2－k)(1－k)+(3－2k)(2－2k) =6k2－16k+10=6(k－ )2－ ∴k= 时， =－ 此时 =（ ） 学习注意触类旁通，举一反 三，引进向量的坐标运算式 把定性的向量定量化的有 效办法。这样可以把向量问 题转化为代数问题 六．小结 1．空间向量的直角坐标运算律 2．数量积与夹角 3．模长与距离 4．平行于垂直 七．作业 课本 P106 习题 3.1，A 组 第 8、9、11 题 练习与测试： )1,0,1(1A )0,0,0(D )1,0,1(1 =DA 01 =⋅ DAEF 1DAEF ⊥ 1DAEF ⊥ 2 101 101 101 4 101 SA SB⋅  SB SB SA SB⋅  3 4 3 2 3 4 min( )SA SB⋅  3 2 OS 3 8,3 4,3 4 A B CD A 1 B 1 C1D1 NM（基础题） 1．已知向量 的夹角为（ ） A．0° B．45° C．90° D．180° 2．已知 （ ） A． B．5，2 C． D．-5，-2 （中等题） 3.已知 ， ，求： （1）线段 的中点坐标和长度； （2）到 两点的距离相等的点 的坐标 满足的条件 解：（1）设 是线段 的中点，则 ． ∴ 的中点坐标是 ， ． （2）∵ 点 到 两点的距离相等， 则 , 化简得： , 所以，到 两点的距离相等的点 的坐标 满足的条件是 ． 点评：到 两点的距离相等的点 构成的集合就是线段 AB 的中垂面，若将点 的坐标 满足的条件 的系数构成一个向量 ，发现与 共线。 4,已知三角形的顶点是 ， ， ，试求这个三角形的面积。 分析：可用公式 来求面积 解：∵ ， ， ∴ ， ， ， baba 与则),2,1,1(),1,2,0( −−== ( 1,0,2 ), (6,2 1,2),a bλ λ µ= + = −  // ,a b λ µ 若 则 与 的值分别为 2 1,5 1 2 1,5 1 −− )3,1,3(A (1,0,5)B AB ,A B ( , , )P x y z , ,x y z M AB )2 3,3,2()(2 1 =+= OBOAOM AB )2 3,3,2( )3,4,2(−=AB 29)3(4)2(|| 222 =−++−=AB ( , , )P x y z ,A B 222222 )0()5()1()3()1()3( −+−+−=−+−+− zyxzyx 07684 =++− zyx ,A B ( , , )P x y z , ,x y z 07684 =++− zyx ,A B ( , , )P x y z P , ,x y z 07684 =++− zyx )6,8,4( −=a )3,4,2(−=AB (1, 1,1)A − (2,1, 1)B − ( 1, 1, 2)C − − − 1 | | | | sin2S AB AC A= ⋅ ⋅  (1,2, 2)AB = − ( 2,0, 3)AC = − − 2 2 2| | 1 2 ( 2) 3AB = + + − = 2 2| | ( 2) 0 ( 3) 13AC = − + + − = (1,2, 2) ( 2,0, 3) 2 6 4AB AC⋅ = − ⋅ − − = − + = ∴ ， ∴所以 ． 5．已知 ，则向量 与 的夹角是 （ ） A．90° B．60° C．30° D．0° 6．已知 ，则 的最小值是 （ ） A． B． C． D． 7．已知 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 4 13cos cos , 39| | | | 3 13 AB ACA AB AC AB AC ⋅= < >= = = ⋅ ×      2 13 101sin sin , 1 cos , 39A AB AC AB AC ×= < >= − < > =    1 101| | | | sin2 2ABCS AB AC A∆ = ⋅ ⋅ =  (cos ,1,sin ), (sin ,1,cos )a bθ θ θ θ= =  a b+  a b−  (1 ,1 , ), (2, , )a t t t b t t= − − =  | |a b−  5 5 55 5 3 5 5 11 5 ( ) ( )3cos ,3sin ,1 2cos ,2sin ,1P α α β β= =和Q PQ [ ]0,5 [ ]0,25 [ ]1,5 ( )1,5