§3.2.4 坐标法中解方程组求向量的有关问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方
向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一
些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解
方程组的方法求其坐标.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：解方程组求向量的的坐标.
【教学难点】：解方程组求向量的的坐标..
【课前准备】：Powerpoint 课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引
入
1． 单位向量，平面的法向量
（1）单位向量－－模为 1 的向量。
（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。
2． 坐标法。
为探索新知识做准
备.
二、探究与
练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得
出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的
点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之
间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例 1：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 1，求证：平面 A1BC1
的法向量为直线 DB1 的方向向量.
分析：（1）建立空间坐标系；
（2）用坐标表示向量
（3）设平面 A1BC1 的方向向量为 n=(x,y,z)，由下列关系
列方程组求 x,y,z.
让学生通过回顾寻
找将立体几何问题
转化为向量问题的
步骤。
例 1 在建立坐标系
后，比较简单，容
易把握。分析中的
方法是为配合本次
课的课题而设计的。
D1 C1
D'
B1A1
CD
A B
11 , BCBA
0,0 11 =•=• BCnBAn （4）证明向量 n//
（解略）
思考：有更简单的方法吗？
向量 与 、 的数量积为零即可。
例 2，ABCD 是一个直角梯形，角 ABC 是直角，SA 垂直于平面 ABCD，
SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面 SCD 与平面 SBA 所成二面角的余弦。
分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。
所以本题关键是求平面的法向量。
解：以 A 为原点建立空间直角坐标系，使点 A、C、D、S 的坐标分别
为 A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。
设平面
由学生回答本例的
简便解法。
例 2 是一个典型的
通过解方程组求法
向量的问题，这类
问题可以不用作出
二面角的平面角就
求出结果。
取 y＝2，因为只要
向量的方向。
例 3 是数学与物理
的综合应用问题，
求合力转化为向量
的加法。
D
B C
S
A
BA1 1BC
1DB
1DB
1
1(0, ,0)2SBA n AD= = 易知面 的法向量
2 ( , , ),SCD n x y z=的法向量
2 2, ,n CD n SD⊥ ⊥ 由 得：
02
02
yx
y z
− =
− =
2
2
yx
yz
=⇒
=
2 (1,2,1)n =任取
1 2
1 2
1 2
6cos , 3| || |
n nn n
n n
∴ < >= =
6
3
即所求二面角得余弦值是
？时，才能提起这块钢板
少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运
这块钢板在这些，且是
角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三
力，在它的顶点处分别受质量为
角形面的钢板的如图，一块均匀的正三例
.20060
,,,500
3
321
321
kgFFF
FFFkg
===分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。
为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一
条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。
帮助学生理解如何
建立坐标系。
单位向量的模为 1。
F1 F2
F3
A
C
O
500kg
B
),0,1,0(),,(2
160cos
60,
),,,(
1
1
•== zyx
ACABF
zyxF
的数量积运算，得
，利用向量的夹角均为与由于
为方向上的单位向量坐标设力
),0,2
1,2
3(),,(2
160cos −•== zyx
.2
1,12
1 =−= yx解得
3
2,1222 ==++ zzyx 因此又因为
)3
2,2
1,12
1(2001 −=F所以
)3
2,0,3
1(200
)3
2,2
1,12
1(200
3
2
=
−−=
F
F
类似地
).0,2
1,2
3(),0,1,0(),0,0,0(
,
−CBA
Axyz
yAByAB
xAyABCA
坐标分别为
则正三角形的顶点建立空间直角坐标系
轴的单位长度为轴正方向，方向为平面，
坐标为为原点，平面解：如图，以点
)6,0,0(200
)]3
2,0,3
1()3
2,2
1,12
1()3
2,2
1,12
1[(200
321
=
+−−+−=
+ FFF＋它们的合力 探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？
――求每个力向上的分力。
开拓学生思维。
三、拓展与
提高
1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 在 A1B1 上，Q 在 BC 上，且 A1P=QB，
M、N 分别为 AB1、PQ 的中点。求证：MN//平面 ABCD。
证明：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz
设正方形边长为 2，又设 A1P=BQ=2x
则 P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)，故 N(2-x, 1+x, 1),而 M(2, 1, 1)
所以向量 =(-x, x, 0)，又平面 AC 的法向量为 =(0, 0, 1)，
=0 ∴
又 M 不在平面 AC 内，所以 MN∥平面 AC。
2，课本 P122 第 11 题。
答案：3/8.
学生进行提高训练
应用.
四、小结 1． 根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通
过向量解决问题。
2． 个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。
反思归纳
五、作业 课本 P121 ，第 6 题 和 P122 第 10 题。
练习与测试：
（基础题）
M N
C'
D'
B'A'
CD
A B
y
x
z
P
Q
MN n
nMN • nMN ⊥
所以钢板仍静止不动。
由于
作用点为大小为
的合力方向向上，
这说明，作用在钢板上
,5006200
.,6200
<
Okg1，已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 ＝ ，则 x＋y＋z
＝ ．
答：0
2，把边长为 的正三角形 沿高线 折成 的二面角，点 到 的距离是（ ）
A．
B． C．
D．
答：D
3，若 a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果 a 与 b 为共线向量，则
A.x=1,y=1 B.x= ,y=－ C.x= ,y=－ D.x=－ ,y=
解析：因为 a=(2x,1,3)与 b=(1,－2y,9)共线，故有 = = ,∴x= ,y=－ ,应选 C.
答案：C
4，若空间三点 A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则 p=__________,q=__________.
解析：∵A、B、C 三点共线，则 =λ ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，
∴ ∴λ= ，代入得 p=3,q=2.
答案：3 2
（中等题）
5，棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中，E、F 分别为棱 AB、BC 上的动点，且 AE=BF=x（0≤x≤
a）. 如图，以 O 为原点，直线 OA、OC、OO1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
⑴ 求证：A1F⊥C1E；
⑵ 当△BEF 的面积取得最大值时，求二面角 B1—EF—B 的正切值.
证明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）
所以 ，由此得 =0，
A1F⊥C1E
（2）当△BEF 的面积取得最大值时，E、F 应分别为相应边的中点，可求得二面角 B1—EF—B 的正切
值 .
a ABC AD 60 A BC
a 6
2
a 3
3
a 15
4
a
),,(),,,( 11 aaxaECaaxFA −−=−−= ECFA 11 •
22
C
BA
O
C1
B1
O1
A1
E F y
x
z6，如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点.
试确定点 F 的位置，使得 D1E⊥平面 AB1F；
解：以 A 为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.
设 DF=x，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，
0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1), E(1, ,0),F(x,1,0).
∴ =(1，－ ，－1)， =(1，0，1)，
=(x,1,0).
∴ · =1－1=0，即 D1E⊥AB1.
于是 D1E⊥平面 AB1F D1E⊥AF · =0 x－ =0，即 x= .
故当点 F 是 CD 的中点时，D1E⊥平面 AB1F.
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