第二章 圆锥曲线与方程 2.2~02《椭圆及其标准方程》（人教A版选修2-1）.doc

课题：椭圆及其标准方程 课时：02 课型：新授课 教学目标： 1.知识与技能目标 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程 的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方 法．． 2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 3.情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。 4.能力目标 （1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用 已有的知识能力． （2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径． 教学过程： （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧 面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平 行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把 圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当 学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究 P41 页上的问题（同桌的两位同学准备 无弹性的细绳子一条（约 10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约 60cm， 一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图 形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什 么？ 〖板书〗2．1．1 椭圆及其标准方程．（2）新课讲授过程 （i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 把平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆 （ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点 设为 时，椭圆即为点集 ． （ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性； 第二、注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、 的关系有明显的几何意 义． 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 ． （iii）例题讲解与引申 例 1 ： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方 程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ．引导学生用其他方法 来解． 另解：设椭圆的标准方程为 ，因点 在椭圆上， 则 ． 例 2：如图，在圆 上任取一点，过点作轴的垂线段 ，为垂足．当点在圆上运 动时，线段 的中点 的轨迹是什么？ 1F 2F 1 2F F M P = { }1 2| 2M MF MF a+ = b , ,a b c ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > ( )2,0− ( )2,0 5 3,2 2  −   , ,a b c ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 5 3,2 2  −   2 2 2 2 25 9 1 104 4 64 aa b ba b  + = = ⇒  = − = 2 2 4x y+ = PD PD M分析：点在圆 上运动，由点移动引起点 的运动，则称点 是点的伴随点， 因点 为线段 的中点，则点 的坐标可由点来表示，从而能求点 的轨迹方程． 引申：设定点 ，是椭圆 上动点，求线段 中点 的轨迹方程． 解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设 ， ； ②（点与伴随点的关系）∵ 为线段 的中点，∴ ；③（代入已知轨迹求出伴 随轨迹），∵ ，∴点 的轨迹方程为 ；④伴随轨迹表示 的范围． 例 3： 如图，设，的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用 含 的式子表示，由于直线 ， 的斜率之积是 ，因 此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程． 解法剖析：设点 ，则 ， ； 代入点 的集合有 ，化简即可得点 的轨迹方程． 2 2 4x y+ = M M M PD M M ( )6,2A 2 2 125 9 x y+ = AP M ( ),M x y ( )1 1,P x y M AP 1 1 2 6 2 2 x x y y = −  = − 2 2 1 1 125 9 x y+ = M ( ) ( )2 23 1 1 25 9 4 x y− −+ = ( )5,0− ( )5,0 AM BM M 4 9 − M ( ),M x y AM BM ,x y AM BM 4 9 − ,x y M ( ),M x y ( )55AM yk xx = ≠ −+ ( )55BM yk xx = ≠− M 4 5 5 9 y y x x × = −+ − M引申：如图，设△ 的两个顶点 ， ，顶点 在移动，且 ， 且 ，试求动点 的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 值在变化时，线段 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴． 练习：第 48 页 1、2、3、4 作业：第 49 页 2、3 教学反思：轨迹问题中的去除点问题，注重几何条件的应用。 ABC ( ),0A a− ( ),0B a C AC BCk k k× = 0k < C k AB