课题： 椭圆的简单几何性质
课时：04
课型：新授课
教学目标：
1.知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念
理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；
2.过程与方法目标
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通
过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方
法的培养．
3.情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探
究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界
观，激励学生创新．
教学过程：
（1） 复习和预习：
知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要
从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（2）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得， ，进一步得： ，同理可
得： ，即椭圆位于直线 和 所围成的矩形框图里；
②对称性：由以 代，以 代和 代，且以 代这三个方面来研究椭圆的标准方
程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫
做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫
2 2
2 21 0y x
b a
= − ≥ a x a− ≤ ≤
b y b− ≤ ≤ x a= ± y b= ±
x− y− x− y−做长轴，较短的叫做短轴；
④ 离 心 率 ： 椭 圆 的 焦 距 与 长 轴 长 的 比 叫 做 椭 圆 的 离 心 率 （ ），
； ．
（3）例题讲解与引申、扩展
例 4： 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出 ．引
导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即
可求相关量．
扩展：已知椭圆 的离心率为
，求的值．
解法剖析：依题意， ，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点
在轴上，即 时，有 ，∴ ，得 ；②
当 焦 点 在 轴 上 ， 即 时 ， 有 ， ∴
．
例 5： 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片门位于另一个焦点 上，由椭圆一个焦
点 发 出 的 光 线 ， 经 过 旋 转 椭 圆 面 反 射 后 集 中 到 另 一 个 焦 点 ． 已 知 ，
， ．建立适当的坐标系，求截口 所在椭圆的方程．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为 ，算出 的值；
此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 的近似值，原则上在没有
注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
a
ce = 10
10
5e =
0, 5m m> ≠
0 5m< < 5, , 5a b m c m= = = − 5 2
5 5
m− = 3m =
5m > , 5, 5a m b c m= = = −
5 10 25
5 3
m m
m
− = ⇒ =
BAC
1F 2F
1F 2F 1 2BC F F⊥
1 2.8F B cm= 1 2 4.5F F cm= BAC
2 2
2 2 1x y
a b
+ = , ,a b c
, ,a b c引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是
以地球的中心 为一个焦点的椭圆，近地点距地面 ，远地点距地面 ，已知地球
的半径 ．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
例 6:如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，
求点 的轨迹方程．
分析：若设点 ，则 ，到直线 ：
的距离 ，则容易得点 的轨迹方程．
引申：（用《几何画板》探究）若点 与定点
的距离和它到定直线 ： 的距离比是常数
，则点 的轨迹方程是椭圆．其中定点 是焦点，定直线 ：
相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点 ，相应于 的准线 ： ．
课堂练习：第 49 页 6、7、8
课学小结：
课后作业：第 50 页 1、2、3
2F 200km 350km
6371R km=
( ),M x y ( )4,0F l 25
4x = 4
5
M
( ),M x y ( )2 24MF x y= − + l
25
4x = 25
4d x= − M
( ),M x y
( ),0F c l
2ax c
=
ce a
= ( )0a c> > M ( ),0F c l
2ax c
=
( ),0F c′ − F′ l′ 2ax c
= −
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