课题：椭圆中焦点三角形的性质及应用（实验班）
课时：05
课型：新授课
教学目标：理解并掌握焦点三角形在椭圆中的作用，并能利用数形结合 的思想解决解析问题
教学重点：焦点三角形的结论与推广
新课教学：
1.焦点三角形定义：
椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形
中 则 。
性质二：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形
，若 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。
证明：设 ,由焦半径公式可知： ，
在 中，
=
),0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x ,, 21 FF 21FPF
,21 θ=∠ PFF 2tan2
21
θ
bS PFF =∆
θcos2)2( 21
2
2
2
1
2
21
2 PFPFPFPFFFc −+==
)cos1(2)( 21
2
21 θ+−+= PFPFPFPF
θθθ cos1
2
)cos1(2
44
)cos1(2
4)( 22222
21
21 +=+
−=+
−+=∴ bcacPFPFPFPF
1 2
2
2
1 2
1 sin sin tan2 1 cos 2F PF
bS PF PF b
θθ θθ∆∴ = = =+
),0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x ,, 21 FF
21FPF 21PFF∠
),( oo yxP oexaPF +=1 oexaPF −=1
21PFF∆
21
2
21
2
1
2
1
2cos PFPF
FFPFPF −+=θ
21
2
21
2
21
2
42)(
PFPF
cPFPFPFPF −−+=
1))((2
412
44 2
21
22
−−+=−−=
oo exaexa
b
PFPF
ca 12
222
2
−− oxea
b
axa ≤≤− 0 22 axo ≤∴性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形
中 则
证明：设 则在 中，由余弦定理得：
命题得证。
高考题型：已知椭圆 的两焦点分别为 若椭圆上存在一点 使
得 求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知 即 ,
于是得到的取值范围是
性质四：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 ，
则椭圆的离心率 。
由正弦定理得：
由等比定理得：
而 ， ∴
),0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x ,, 21 FF 21FPF
,21 θ=∠ PFF .21cos 2e−≥θ
,, 2211 rPFrPF == 21PFF∆
12
22
2
42)(
2cos
21
22
21
2
21
2
21
21
2
21
2
2
2
1 −−=−−+=−+=
rr
ca
rr
crrrr
rr
FFrrθ
.2112
221
)2(2
22 2
2
22
221
22
ea
ca
rr
ca −=−−=−+
−≥
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x ,, 21 FF ,P
,1200
21 =∠ PFF
.21120cos 20 e−≥ 2212
1 e−≥−
.1,2
3
),0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x ,, 21 FF 21FPF
,, 1221 βα =∠=∠ FPFFPF βα
βα
sinsin
)sin(
+
+=e
,, 1221 βα =∠=∠ FPFFPF
βαβα sinsin)180sin(
1221 PFPFFF
o
==−−
βαβα sinsin)sin(
2121
+
+=+
PFPFFF
)sin(
2
)sin(
21
βαβα +=+
cFF
βαβα sinsin
2
sinsin
21
+=+
+ aPFPF。
应用举例：
已知椭圆的焦点是 F1(－1，0)、F2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜
PF1｜和｜PF2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点 P 在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求 tanF1PF2．
解：(1)由题设 2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
∴2a＝４，又 2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为 ＝1．
(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
椭圆的离心率 则 ，
整理得：5sinθ＝ (1＋cosθ)
∴ 故 ，tanF1PF2＝tanθ＝
课后巩固练习：
1、 设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等
腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
A . B. C. D.
2、已知点 P 在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点， 是直角三角形，则
这样的点 P 有
A 2 个 B4 个 C 6 个 D8 个
3、 椭圆 的焦点 、 ，P 为椭圆上的一点，已知 ，则△ 的
βα
βα
sinsin
)sin(
+
+==
a
ce
3
34
22 yx +
2
1=e
)60sin(2
3
sin
)60sin(120sin
)180sin(
2
1
θ
θ
θ
θ
−+
=−+
−=
o
oo
o
3
5
3
cos1
sin =+ θ
θ
5
3
2tan =θ
11
35
25
31
5
32
=
−
⋅
2
2
2 1
2
− 2 2− 2 1−
12040
22
=+ yx
21, FF 21PFF∆
1925
22
=+ yx
1F 2F 21 PFPF ⊥ 21PFF面积为__________ .
答案提示：1. D 2、 A 3、9
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