第二章 圆锥曲线与方程 2.3~06《双曲线及其标准方程》（人教A版选修2-1）.doc

课题：双曲线及其标准方程 课时：02 课型：新授课 教学目标： 1， 知识与技能目标 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方 程的一般方法．． 2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力 3.情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。 4.能力目标 （1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用 已有的知识能力． （2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径． 新课讲授过程 （1）双曲线的定义 〖板书〗把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点 的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做 双曲线的焦距．即当动点设为 时，双曲线即为点集 ． 强调：a 的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？ （2）双曲线标准方程的推导过程 提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法 由学生来建立直角坐标系． 无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的 数学活动过程． 1F 2F 1 2F F M P = { }1 2 2M MF MF a− = 类比双曲线：设参量 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、 的关系 有明显的几何意义． 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程 ． （3）例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点到 ， 距离差 的绝对值等于 ，求双曲线的标准方程． 分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ． 补充：求下列动圆的圆心 的轨迹方程：① 与⊙ ： 内切，且过点 ；② 与⊙ ： 和⊙ ： 都外切；③ 与⊙ ： 外切，且与⊙ ： 内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆 的半径为． ① ∵ ⊙ 与 ⊙ 内 切 ， 点 在 ⊙ 外 ， ∴ ， ， 因 此 有 ，∴点 的轨迹是以 、为焦点的双曲线的左支，即 的轨迹方程是 ； ② ∵ ⊙ 与 ⊙ 、 ⊙ 均 外 切 ， ∴ ， ， 因 此 有 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，∴ 的轨迹方程是 ； ③ ∵ 与 外切，且 与 内切，∴ ， ，因此 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，∴ 的轨迹方程 是 ． 例 2 已知，两地相距 ，在地听到炮弹爆炸声比在地晚 ，且声速为 ， 求炮弹爆炸点的轨迹方程． 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知， b , ,a b c ( )2 2 2 2 1 0, 0y x a bb a − = > > ( )1 5,0F − ( )2 5,0F 1F 2F 6 , ,a b c M C ( )2 22 2x y+ + = ( )2,0A 1C ( )22 1 1x y+ − = 2C ( )22 1 4x y+ − = 1C ( )2 23 9x y+ + = 2C ( )2 23 1x y− + = M C M C 2MC r= − MA r= 2MA MC− = M C M ( )2 2 22 1 27 yx x− = ≤ − M 1C 2C 1 1MC r= + 2 2MC r= + 2 1 1MC MC− = M 2C 1C M 2 2 4 34 13 4 xy y − = ≥   M 1C M 2C 1 3MC r= + 2 1MC r= − 1 2 4MC MC− = M 1C 2C M ( )2 2 1 24 5 x y x− = ≥ 800m 2s 340 /m s两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程． 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时 听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 ．已知各观察点到该 中心的距离都是 ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 ； 相关点均在同一平面内）． 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比 正西晚 ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上． 如图，以接报中心为原点 ，正东、正北方向分别为轴、轴方 向，建立直角坐标系，设、、 分别是西、东、北观察点，则 ， ， ． 设 为巨响发生点，∵、 同时听到巨响，∴ 所 在 直 线 为 … … ① ， 又 因 点 比 点 晚 听 到 巨 响 声 ， ∴ ．由双曲线定义知， ， ，∴ ，∴点在双曲线方程为 ……②．联立①、②求出点坐标为 ．即巨响在正西北方向 处． 探究：如图，设，的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它们的 斜率之积为 ，求点 的轨迹方程，并与§2．1．例 3 比较，有什么发现？ 探究方法：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由 于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨 迹方程． 4s 1020m 340 /m s 4s O C ( )1020,0A − ( )1020,0B ( )0,1020C ( ),P x y C OP y x= − 4s ( )4 340 1360PB PA m− = × = 680a = 1020c = 340 5b = 2 2 2 2 1680 5 340 x y− =× ( )680x ≤ − ( )680 5,680 5P − 680 10m ( )5,0− ( )5,0 AM BM M 4 9 M ( ),M x y AM BM ,x y AM BM 4 9 ,x y M练习：第 54 页 1、2、3 课堂小结： 作业：第 60 页 1、2 补充作业： 1.【2015 高考福建，理 3】若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在双曲线 上，且 ，则 等于（B　） A．11 　　 B．9 C．5 　　　D．3 2.【2015 高考四川，理 5】过双曲线 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于 A，B 两点，则 （ D ） (A) (B) (C)6 （D） 2 2 : 19 16 x yE − = 1 2,F F 1 3PF = 2PF 2 2 13 yx − = AB = 4 3 3 2 3 4 3