m
M
R
r
O
中心天体
图(1)
第五章 万有引力与航天
【复习目标】
1.知道万有引力定律、卫星运动的规律等并能熟练应用万有引力定律分析天体运动的动力学问题。
2.能利用匀速圆周运动简述万有引力定律的导出过程及地---月检验的思路方法。
3.了解我国在航天事业发展中的伟大成就，激发科学兴趣，增强民族自豪感。
【复习重难点】
1.重点：中心天体模型卫星运动规律。
2.难点：近地卫星、同步卫星和地球赤道上的物体间的区别。
【复习方法】
讲授法、自主复习法、讨论法、练习法等。
【课时安排】 3 课时
第一课时
一． 基本概念知识点
1.请同学简述开普勒行星运动定律（轨道定律、面积定律和周期定律）
2.万有引力定律
1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量 m1、m2 的乘积成正比，
与它们之间的距离 r 的二次方成反比。
2)请同学先认真阅读教材再简述万有引力定律的导出过程，并阐明 “地−月检验”的思路方法。
3)数学表达式： ，G 为引力常量：
4)适用条件：两质点间或质量分布的均匀的正球体
5)万有引力的普适性、相互性和宏观性。
例 1:以下说法中正确的是（ ）
A.行星在远日点的线速度最大 B.所有太阳的行星轨道都共面
C.当两物体间的距离趋近零时，万有引力无穷大
D.若月球和地球之间的距离不变，月球资源不断输送到地球，则地月间的引力不断减小
3.万有引力与航天
1)天体运动模型
中心天体是质量分布均匀的正球体，可看作质点的星球绕中心天体的
球心做匀速圆周运动，如图(1)所示。
1 2
2
Gm mF r
= 11 2 26.67 10 /G N m kg−= × ⋅代入已测数据
2)万有引力提供向心力（地－卫系统，赤道面内的卫星，如图(2)所示）
a)
， ， ，
b)描述行星运动的物理量 的大小由轨道半径 r 决定！
显然：r↗时，a↙、v↙、ω↙、T↗.这些值与卫
星的质量无关，但是卫星受到的万有引力，卫星
的动能、重力势能、机械能与卫星的质量有关
例 2： 关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下
几种说法，其中正确的是（ ）
A. 轨道半径越大，速度越小，周期越长 B. 轨道半径越大，速度越大，周期越短
C. 轨道半径越大，速度越大，周期越长 D. 轨道半径越小，速度越小，周期越长
第二课时
3)卫星的轨道特点
a) 卫星可以绕地球须以地心为圆心的任一圆作圆周运动，轨道平面
可以与地球赤道平面成任意夹角,如图(3)所示.
b) 同步卫星轨道是特定的唯一圆形轨道,在赤道平面内，离地表一定高
度 h0 ,公转周期 T0 (也是地球自转周期)。
,
例 3：关于地球卫星的轨道，以下说法中正确的是（ ）
A.可以和地球上的任一纬度圈始终共面 B.可以和地球上的任一径度圈始终共面
C.可以和赤道面成任意夹角 D.同步卫星的轨道可以根据要求调整离地的高度
4)近地卫星与地球赤道上随地球自转的物体间的差别
a)近地轨道卫星
万有引力提供向心力，轨道半径约为地球的半径 R0
2
2 2
2
m 2( )GM mvma m r m rr Tr
πω= = = =
2
GMa r
⇒ = GMv r
= 3
GM
r
ω = 3
2 rT GM
π=
2
0 02
0 0 0
2( ) ( )( )
GMm m R hR h T
π= ++
0 05.6h R⇒ ≈ 0 0
0
2 ( ) 3.1 /R hv km sT
π += ≈
2
2
2
2( )GMm vm m rr r T
π= =
× 2
1
图(3)
O
球地
r =6.6R
同步
卫星
赤道面
图(2)
v =7.9km/s
T=83.3min
v =3.1km/s
T=24h
v=0.4km/s
T=24h
ROE
D
C
B
A
近地
卫星R ,
b)赤道上的物体
万有引力与地面对物体的支持力的合力提供向心力，转动的半径为地球的半径 R0。则有：
， 则向心加速度
很小，显然，赤道上的物体随地球自转时的线速度，角速度等和近地卫
星的线速度，角速度等是无法比拟的，若忽略地球自转的影响则有：
此式就是所谓的“黄金代换公式”
例 4：地球同步卫星离地心距离为 r，运行速率为 v1，加速度 a1，地球赤道上的物体随地球自转
的向心加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球的半径为 R，则以下关系中正确的是（ ）
① ② ③ ④
A. ②③ B.①③ C.①④ D. ②④
5)宇宙速度
a)发射速度和运行速度：
①发射速度是指卫星在地球表面附近刚失去火箭推动力时的速度。
②运行速度是指卫星在既定轨道上绕中心天体正常运行时的速度。
b)①第一宇宙速度（环绕速度）：卫星能够绕地球运行时的最小发射速度
由于地球引力作用，卫星的发射速度越小，卫星向外漂移的距离越近，即卫星的在轨
轨道半径越小，显然近地卫星的轨道半径最小，其相应的发射速度最小，即为第一宇宙速
度，也正是近地卫星的运行速度： ， ，当
然此速度也是卫星绕地球做匀速圆周运动时最大的运行速度。
②第二宇宙速度（脱离速度）：
卫星能够脱离地球而成为太阳的行星的最小发射速度
③第三宇宙速度（逃逸速度）：
卫星能够脱离太阳的束缚飞到太阳系以外的空间的最小的发射速度
例 5:关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度。
0r R= ⇒ 7.9 /v km s= 83minT ≈
2
2
0 0
N
GMm vF mR R
− = NF mg= 02 0.4 /Rv km sT
π⇒ = =
2
2
0
0.025 /va m sR
= ≈
2
0
0GMm mgR
− = ⇒
2
0GM gR=
1
2
a r
a R
=
2
1
2
2
a R
a r
=
2
1
2
2
v R
v r
= 1
2
v R
v r
=
1 7.9 /v km s=
2
1
2
0 0
GMm vmR R
= 2
0GM gR= 1 0 7.9 /v gR km s⇒ = =
2 11.2 /v km s=
3 16.7 /v km s=B．它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度。
C．它是能使卫星绕地球运行的最大发射速度。
D．它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度
4.经典力学的局限性（最简单的了解）
1)牛顿运动定律、万有引力定律是经典力学的基础，适用于宏观物体的低速运动
2)测不准原理、波函数、矩阵力学等是量子力学的基础，适用于微观粒子的低速运动
3)相对性原理，光速不变性是相对论力学的基础，适用于宏观物体的高速运动
二． 基本规律方法及学法指导
1.求中心天体的质量和密度，注意必须是中心天体！
设某质量为 m 的星体绕质量为 M 半径为 R 的中心天体做匀速圆周运动，该星体运行时的
轨道半径为 r，运行周期为 T。则：
若星体绕中心天体表面运行时：
(注意此公式中的周期为星体绕中心天体表面运行时的周期)
2.在多数有关天体运动的计算题目中，尤其题中已知中心天体表面的重力加速度 g 0,通常会用到
再结合 基本上都可解决
例 6：“神舟”六号飞船发射成功后，进入圆形轨道稳定运行，运行一周的时间为 T，地球的半
径为 R，表面的重力加速度为 g，飞船的轨道离地面的高度为 。
第三课时
3.双星或多星组成稳定的天体环绕系统，分析其向心力的来源及环绕中心是解题关键。
例 7：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河
系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统
中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的
距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G）
2 3
2
2 2
2 4( )GMm rm r Mr T GT
π π= ⇒ =
34
3V Rπ= M
V
ρ =
r R=
2
3
GT
πρ⇒ =
02
0
GMm mgR
=
2
2 2
2
2( )GMm vm m r m rr r T
πω= = =
3
2 3
3 r
GT R
πρ⇒ =3
图(4)
P Q
1
2
图(5)
Q P
轨道 1
地球
轨道 2
4.卫星变轨问题要明确变轨的过程及描述卫星运行的物理量(包括卫星的速度、向心加速 度、加速
度、向心力、万有引力、轨道半径、动能、重力势能、机械能)的变化情况。
如图(4)所示，轨道 1 和轨道 3 是以地球为圆心的圆形轨道，
轨道半径分别 r1 和 r3(r3> r1)，轨道 2 是椭圆轨道，与轨道 1 和
轨道 3 分别相切于 P 点和 Q 点。
(1) 速度、加速度大小关系：
v2>v1 >v3> v2' 、
(2) 机械能大小关系：E3>E2>E1
(3) 注意万有引力、向心力、机械能的大小与卫星的质量有关
例 8：08 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行
并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 P 点
343km 处，由椭圆轨道变成高度为 343km 的圆轨道，在此圆轨道上飞
船运行周期约为 90min，如图(5)所示。下列判断正确的是（ ）
A.飞船在 P 点变轨前后的速度大小相等
B.飞船在轨道 2 上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度
C.飞船在轨道 2 上运行时的机械能大于在轨道 1 上运行时的机械能
D.飞船变轨前通过轨道 1 上 P 点时的向心加速度大于沿轨道 2 运动的向心加速度
例 9：如图（6）所示，一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径 R =2R0(R0 为地球半径)，
卫星的运转方向与地球的自转方向相同，设地球自转的角速度为 ω0，地球表面重力加速度为
g。若取离地心无限远处为零势能参考点，可知离地心距离为 r 处的卫星的重力势能表达式为
，（其中 M 为地球质量、m 为卫星的质量，本题中这两个量都是未知量）。试
求：
(1)若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它再次通过该建筑物上方所需时间。
(2)若该卫星在轨运行时突然加速到 v，卫星将漂移到更高的轨道上绕地球运行，求速度 v 的范
围
1 2 2 1 2 3 3 2P P n P n P Q Q n Q n Qa a a a a a a a= = = > = = =
Pr
GMmE r
= −
人造卫星
地球
图( 6)三.课堂小结:
1.万有引力定律的表达式：
2.万有引力提供向心力时：
， ， ，
r↗时，a↙、v↙、ω↙、T↗.这些值与卫星的质量无关。
3.近地卫星、同步卫星与地球赤道上随地球自转的物体间的差别
4.卫星变轨时：v 2>v1 >v3> v2' 、 E3>E2>E1
四.课后作业:
【板书设计】
万有引力与航天
1.开普勒行星运动定律：轨道定律、面积定律和周期定律
2.万有引力定律
1)数学表达式： ，G 为引力常量：
2)适用条件：两质点间或质量分布的均匀的正球体
3)万有引力的普适性、相互性和宏观性。
3.万有引力与航天
1) 天体运动模型
2)万有引力提供向心力
， ， ，
3)卫星的轨道特点
4) 近地卫星与地球赤道上随地球自转的物体间的差别
5) 宇宙速度
a)发射速度和运行速度：
b) 第一宇宙速度（环绕速度）
1 2
2
Gm mF r
=
2
2 2
2
m 2( )GM mvma m r m rr Tr
πω= = = =
2
GMa r
⇒ = GMv r
= 3
GM
r
ω =
3
2 rT GM
π=
1 2 2 1 2 3 3 2P P n P n P Q Q n Q n Qa a a a a a a a= = = > = = =
1 2
2
Gm mF r
= 11 2 26.67 10 /G N m kg−= × ⋅
2
2 2
2
m 2( )GM mvma m r m rr Tr
πω= = = =
2
GMa r
⇒ = GMv r
= 3
GM
r
ω = 3
2 rT GM
π=， ，
4. 求中心天体的质量和密度
当
5.双星或多星组成稳定的天体环绕系统。（例题略）
6.卫星变轨问题：
速度、加速度大小关系：
v2>v1 >v3> v2' 、
机械能大小关系：E3>E2>E1
7.课后作业:
【教后反思】
例题参考答案：
例 1：D 例 2：A 例 3：C 例 4：C 例 5：A 例 6：
例 7： 例 8：C 例 9：(1) (2)
2
1
2
0 0
GMm vmR R
= 2
0GM gR= 1 0 7.9 /v gR km s⇒ = =
2 3
2
2 2
2 4( )GMm rm r Mr T GT
π π= ⇒ =
34
3V Rπ= M
V
ρ = 2
3
GT
πρ⇒ =
1 2 2 1 2 3 3 2P P n P n P Q Q n Q n Qa a a a a a a a= = = > = = =
2 2
3
2
gR T
4 Rπ −
2 3
2
4
GT
rπ
0
0
2
8
g
R
π
ω−
0
02
gR v gR< ≤
3
2 3
3 r
GT R
πρ⇒ =
r R=
微信/支付宝扫码支付