勾股定理的发现和证明.doc

勾股定理的发现和证明 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高 请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以 上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据 呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条 原理：当直角三角形‘矩’的一条直角边‘勾’等于 3，另一条直角边‘股’等 于 4 的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是 5。这个原理是大禹在治水的时候就 总结出来的啊。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在 几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。稍懂平面几何的 读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于 斜边的平方。如图所示， 我们用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c） 来表示斜边，则可得：勾 2+股 2=弦 2 亦即： a2+b2=c2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达 哥拉斯于公元前 550 年首先发现的。其实，我国古代的人民对这一数学定理的发 现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证 的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期，比 毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾 3 股 4 弦 5，正是勾股定理的一个应 用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性 表达。书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再 进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾 2+股 2）(1/2) 亦即： c=（a2+b2）(1/2) 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾 股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵 爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详 细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等 的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、 补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证 数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以 后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股 定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独 特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学 创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重 要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系 与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的 发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。” ——《自然辨证法通讯》1990 年第 4 期