课题:双曲线第二定义（实验班）
课时：07
课型：新授课
教学目标：
1．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
2．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。
教学重点：双曲线的第二定义
教学难点：双曲线的第二定义及应用.
教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义）
教学过程：
一、复习引入：
1、 （1）、双曲线的定义：平面上到两定点 距离之差的绝对值等于常数（小于
）的点的
轨迹叫做双曲线.定点 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
(2)、双曲线的标准方程：
焦点在 x 轴： 焦点在 y 轴： 其中
2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质：
（1）、焦点：F1(-c,0),F2(c,0)；(2)、渐近线: ；（3）、离心率： >1
3、本课我们来学习双曲线的另一定义。（板书课题：双曲线第二定义）
二、新课教学：
1、引例(课本 P64 例 6)：点 M(x,y) 与定点 F(5,0)距离和它
到定直线 的距离之比是常数 ,求点 M 的轨迹方程.
分析：利用求轨迹方程的方法。
解:设 是点 M 到直线 的距离,根据题意,所求轨迹就是
集合 P={M| },
21 FF、
|| 21FF
21 FF、
12
2
2
2
=−
b
y
a
x )0,0( >> ba
2 2
2 2 1y x
a b
− = )0,0( >> ba
222 cba =+
xa
by ±=
a
ce =
16: 5l x = 5
4
d l
| | 5
4
MF
d
=
F2F1
H
H
x
2ax c
=
o
y即
所以，点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线。
由例 6 可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线 为 ,
常数为离心率 >1.
[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点 M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线
的距离之比是常数 ,求点 M 的轨迹方程。
解：设 是点 M 到直线 的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合 P={M| }, 即
化简得 两边同时除以 得
2、小结：
双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 的距离
之比是常数 时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线的一个
焦点，定直线 叫双曲线的一条准线，常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上任一点到
焦点的线段称为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。
（P65 思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）
答：只是常数的取值范围不同，椭圆的 ,而双曲线的 .
三、课堂练习
1． 求 的准线方程、两准线间的距离。
2 2( 5) 5
16 4
5
x y
x
− + =
−
2 2
116 9
x y− =化简得
16: 5l x =
2ax c
=
a
ce =
2
: al x c
= 1ce a
= >
d l | | 5
4
MF
d
=
2 2
2
( )x c y c
aax c
− + =
−
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )c a x a y a c a− − = − 2 2 2( )a c a−
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> >其中
2
: al x c
=
1ce a
= >
2
: al x c
=
0 1ce a
< = < 1ce a
= >
2 2
13 4
x y− = 解:由 可知,焦点在 x 轴上,且 所以准线方程为: ；故
两准线的距离为 .
2、已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点
的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。
(A) 2 (B)
2 3
3 (C) 2 (D) 4
解：
3、如果双曲线 上的一点 P 到左焦点的距离为 9，则 P 到右准线的距离是＿＿＿
＿
解： P 到左准线的距离为 m，由双曲线方程可知 a=5，b=12，c=13，
准线方程为 根据双曲线第二定义得,
。
4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求 e.
解：由题意可知， 即 所以
5. 双曲线的 ＞ ， ＞ 渐近线与一条准线围成的三角形的面积是 .
解:由题意可知,一条准线方程为: ,渐近线方程为 因为当 时
所以所求的三角形面积为:
四、巩固练习：
1．已知双曲线 =1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于 A，△OAF 面
2 2
13 4
x y− = 3 4 7c = + = 3
7
x = ±
3 3 6 7( ) 77 7
− − =
2 2
125 144
x y− =
13
5
ce a
= =
2 25
13
ax c
= ± = 9 13 45
5 13e mm
= = ⇒ =
25 50( )13 13
− − =
25又 两准线间的距离为
13
45 95
13 13P∴ + =50到右准线的距离为
13
2 2 1( ) 23
a a cc c
− − = ×
2
2 3, 1c ea
= >又 3ce a
= =
12
2
2
2
=−
b
y
a
x (a 0 b )0
2ax c
= by xa
= ±
2ax c
=
2b a aby a c c
= ± = ±
2 3
2
1 [ ( )]2
ab ab a a b
c c c c
− − =
2
2
2
2
b
y
a
x −积为 （O 为原点），则两条渐近线夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：由题意可得，△OAF 的底边|OC|=c,高 h= S△OAF=
因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 90°。
2.
。
五、教学反思：
(1) 知识内容：双曲线的第二定义及应用。
(2) 数学方法:类比法，
(3) 数学思想: 从特殊到一般
(4) 新课标要求：第二定义不作考查，可以作为解决选择、填空的快捷方法选用。
六、作业：
1、双曲线 的一条准线是 y=1,则的值。
2
2a
2b a ab
a c c
=
21
2 2
ab ac c
= a b⇒ =
2
2 131 2 0 , 1
23A F P PA PFyx = +−已知点（ ，）、（ ，）在双曲线 上求一点 ，使得 的值最小，并求出最小值。
1 1
2 2
PA PF PF+分析：本题的关键是利用双曲线的第二定义将 中的 转化。
2e P d=解：由题意得 ，设点 到右准线的距离为 ，
2PF
d
=则由双曲线第二定义得： 1
2
PF d∴ =
1
2PA PF PA d+ = +即
:结合图形得
2 5 2 33 , 1
2 3
a P
c
− =最小值为： 这时 为：（ ，）
2 22 2mx m y− =
A
P
P
H
H
F2 x
2ax c
=
F1 o
y2、求渐近线方程是 4x ,准线方程是 5y 的双曲线方程．
3、已知双曲线的离心率为 2,准线方程为 y= - ,焦点 F(2,0),求双曲线标准方程.
4、(请你编题)若双曲线标准方程为＿＿上一点 p 到(左,右)焦点的距离是＿＿＿则点 p 到(左,
右)准线的距离＿＿＿.
七、板书设计
课题：双曲线的第二定义及应用
1、 复习引入
（1）、双曲线的定义
(2)、双曲线的标准方程
(3)、关于焦点在 x 轴上的双曲线的有关
性质
2、 新内容
双曲线第二定义:
例题：
课堂练习：
1、
2、
3、
4、
5、
课后练习：
1、
2、
作业：
1、 2、 3、 4、
作业：
1.-4/3 2.; 3. ,4[略]
03 =± y 016 =±
微信/支付宝扫码支付