第二章 圆锥曲线与方程 2.5~16《椭圆与双曲线的对偶性质》复习小结（人教A版选修2-1）.doc

课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（实验班） 椭 圆 课时：16 课型：复习课 1. 椭圆在点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 . 6. 若 在椭圆 外 ，则过 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 . 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点(除长轴端 点) ，则椭圆的焦点三角形的面积为 . 8. 椭圆 （a＞b＞0）的焦半径公式： , ( , ). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11.AB 是椭圆 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 ，即 。 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0P 0 0 2 2 1x x y y a b + = 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0P 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2F PF γ∠ = 1 2 2 tan 2F PFS b γ ∆ = 2 2 2 2 1x y a b + = 1 0| |MF a ex= + 2 0| |MF a ex= − 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y 2 2 2 2 1x y a b + = ),( 00 yx 2 2OM AB bk k a ⋅ = − 0 2 0 2 ya xbK AB −=12. 若 在 椭 圆 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 . 13.若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 . 双曲线 1.双曲线在点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5.若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 . 6.若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 . 7.双曲线 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点(除 实轴端点) ，则双曲线的焦点三角形的面积为 . 8.双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , 当 在右支上时， , . 当 在左支上时， , 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b + = + 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = 0P 0 0 2 2 1x x y y a b − = 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = 0P 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2F PF γ∠ = 1 2 2 t 2F PFS b co γ ∆ = 2 2 2 2 1x y a b − = 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y 1 0| |MF ex a= + 2 0| |MF ex a= − 0 0( , )M x y 1 0| |MF ex a= − + 2 0| |MF ex a= − −和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11.AB 是双曲线 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 ，即 。 12.若 在双曲线 （a＞0,b＞0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 . 13.若 在双曲线 （a＞0,b＞0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 . 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 椭 圆 1.椭圆 （a＞b＞o）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆 于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 . 2.过椭圆 (a＞b＞0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）. 3.若 P 为椭圆 （a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, , ，则 .(由正弦定理可以推导) 4.设椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点， 2 2 2 2 1x y a b − = ),( 00 yx 2 2 a bKK ABOM =⋅ 0 2 0 2 ya xbK AB = 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b − = − 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b − = − 2 2 2 2 1x y a b + = 1( ,0)A a− 2 ( ,0)A a 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 1x y a b + = 0 0( , )A x y 2 0 2 0 BC b xk a y = 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2PF F α∠ = 2 1PF F β∠ = tan t2 2 a c coa c α β− =+ 2 2 2 2 1x y a b + =在△PF1F2 中，记 , , ，则有 .(由 正弦定理可以推导) 5.若椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0＜e≤ 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.P 为椭圆 （a＞b＞0）上任一点,F 1,F2 为左右焦点，A 为椭圆内一定点，则 ,当且仅当 三点共线时，等号成立. 7. 椭 圆 与 直 线 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 . 8.已知椭圆 （a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 . （1） ; （2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 ; （3） 的最小值是 . 9.过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点 F 作直线与该椭圆交于 M, N 两点，弦 MN 的垂直平 分线交 x 轴于 P，则 . 10.已知椭圆 （ a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 相交于点 , 则 . 1 2F PF α∠ = 1 2PF F β∠ = 1 2F F P γ∠ = sin sin sin c ea α β γ = =+ 2 2 2 2 1x y a b + = 2 1− 2 2 2 2 1x y a b + = 2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF− ≤ + ≤ + 2, ,A F P 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1x x y y a b − −+ = 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2 0 0( )A a B b Ax By C+ ≥ + + 2 2 2 2 1x y a b + = OP OQ⊥ 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b + = + 2 2 2 2 4a b a b+ OPQS∆ 2 2 2 2 a b a b+ 2 2 2 2 1x y a b + = | | | | 2 PF e MN = 2 2 2 2 1x y a b + = 0( ,0)P x 2 2 2 2 0 a b a bxa a − −− <