第二章 圆锥曲线与方程 2.5~17《椭圆与双曲线的对偶性质》复习小结（人教A版选修2-1）.doc

课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 高三数学备课组 双曲线 课时：17 课型：复习课 1.双曲线 （a＞0,b＞0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交 双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 . 2.过双曲线 （a＞0,b＞o）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双 曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）. 3.若 P 为双曲线 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, , ，则 （或 ）. 4.设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任 意 一 点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记 , , ， 则 有 .（可由正弦定理推导） 5.若双曲线 （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1＜e≤ 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.P 为双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 ,当且仅当 三点共线且和 在 y 轴同侧时，等号成立. 2 2 2 2 1x y a b − = 1( ,0)A a− 2 ( ,0)A a 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1x y a b − = 0 0( , )A x y 2 0 2 0 BC b xk a y = − 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2PF F α∠ = 2 1PF F β∠ = tan t2 2 c a coc a α β− =+ tan t2 2 c a coc a β α− =+ 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2F PF α∠ = 1 2PF F β∠ = 1 2F F P γ∠ = sin (sin sin ) c ea α γ β = =± − 2 2 2 2 1x y a b − = 2 1+ 2 2 2 2 1x y a b − = 2 1| | 2 | | | |AF a PA PF− ≤ + 2, ,A F P 2,A F7. 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 与 直 线 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 . 8.已知双曲线 （b＞a ＞0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 . （1） ; （2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为 ; （3） 的最小值是 . 9.过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 . 10.已知双曲线 （a＞0,b＞0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 或 . 11.设 P 点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F2 为其焦点记 则有以下结论。 (1) . (2) . 12.设 A、B 是双曲线 （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， 2 2 2 2 1x y a b − = 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b C− ≤ 2 2 2 2 1x y a b − = OP OQ⊥ 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b + = − 2 2 2 2 4a b b a− OPQS∆ 2 2 2 2 a b b a− 2 2 2 2 1x y a b − = | | | | 2 PF e MN = 2 2 2 2 1x y a b − = 0( ,0)P x 2 2 0 a bx a +≥ 2 2 0 a bx a +≤ − 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2F PF θ∠ = 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF θ= − 1 2 2 cot 2PF FS b γ ∆ = 2 2 2 2 1x y a b − =, , ，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) . (2) . (3) . 13.已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线 与 x 轴相交于点，过双曲线右焦点的直 线与双曲线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中 点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半 径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. PAB α∠ = PBA β∠ = BPA γ∠ = 2 2 2 2 2 | cos || | | s | abPA a c co α γ= − 2tan tan 1 eα β = − 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a γ∆ = + 2 2 2 2 1x y a b − = l C l BC x⊥