第二章 圆锥曲线与方程 2.5~18《“点差法”在解析几何题中的应用》（人教A版选修2-1）.doc

课题：“点差法”在解析几何题中的应用 课时：18 课型：复习课 复习引入： 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦 的两个端点坐标分别为 ，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与 弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特 点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程 例 1 已知椭圆 ，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 . 则 ，（1） ，（2） 得： ， . 又 ， . 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为 （在已知椭圆内）. 例 2 直线 （是参数）与抛物线 的相交弦是 ， 则弦 的中点轨迹方程是 . 解 设 ， 中点 ，则 . ， 过定点 ， . 又 ，（1） ，（2） ( ) ( )1 1 2 2, ,x y x y、 2 2 12 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y PQ ( ),M x y 2 21 1 12 x y+ = 2 22 2 12 x y+ = ( ) ( )1 2− ( )2 2 2 21 2 1 2 02 x x y y − + − = ( )1 2 1 2 1 2 1 2 02 x x y y y yx x + −∴ + + =− 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , 2 , 2y yx x x y y y x x −+ = + = =− 4 0x y∴ + = 4 0x y+ = ( ): 5 0l ax y a− − + = ( )2: 1f y x= + AB AB ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y、 AB ( ),M x y 1 2 2x x x+ = ( ) ( ): 1 5 0l a x y− − + = l∴ ( )1, 5N − 5 1AB MN yk k x +∴ = = − ( )2 1 1 1y x= + ( )2 2 2 1y x= +得： ， . 于是 ，即 . 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为 （在已知抛物线 内）. 2 求曲线方程 例 3 已知 的三个顶点都在抛物线 上，其中 ，且 的重心 是抛物线的焦点，求直线 的方程. 解 由已知抛物线方程得 .设 的中点为 ，则 三点共线， 且 ， 分 所成比为，于是 ， 解得 ， . 设 ，则 . 又 ，（1） ，（2） 得： ， . 所在直线方程为 ，即 . 例 4 已知椭圆 的一条准线方程是 ，有一条倾斜角为 的直 线交椭圆于 两点，若 的中点为 ，求椭圆方程. 解 设 ， 则 ， 且 ，（ 1 ） A G M、 、 2AG GM= G∴ ( ) ( )1 2− ( ) ( ) ( )( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2y y x x x x x x− = + − + = − + + 1 2 1 2 1 2 2AB y yk x xx x −∴ = = + +− 5 2 21 y xx + = +− 22 7y x= − 22 7y x= − ABC∆ 2 32y x= ( )2,8A ABC∆ G BC ( )8,0G BC ( )0 0,M x y AM 0 0 2 2 81 2 8 2 01 2 x y + = + + = + 0 0 11 4 x y =  = − ( )11, 4M∴ − ( ) ( )1 1 2 2, , ,B x y C x y 1 2 8y y+ = − 2 1 132y x= 2 2 232y x= ( ) ( )1 2− ( )2 2 1 2 1 232y y x x− = − 1 2 1 2 1 2 32 32 48BC y yk x x y y −∴ = = = = −− + − BC∴ ( )4 4 11y x+ = − − 4 40 0x y+ − = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1x = 4 π A B、 AB 1 1,2 4C  −   ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y、 1 2 1 2 11, 2x x y y+ = − + = 2 2 1 1 2 2 1x y a b + =， （ 2 ） 得 ： ， ， ， ，（3）又 ， ，（4） 而 ，（5）由（3），（4），（5）可得 ， 所求椭圆方程为 . 3 求直线的斜率 例 5 已知椭圆 上不同的三点 与焦点 的距离成等差数列.（1）求证： ；（2）若线段 的垂直平分线与轴的交点为， 求直线 的斜率 . （1）证 略. （2）解 ，设线段 的中点为 . 又 在椭圆上， ，（1） ，（2） 得： ， . 直线 的斜率 ，直线 的方程为 .令 ，得 ，即 ，直线 的斜率 . 4 确定参数的范围 2 2 2 2 2 2 1x y a b + = ( ) ( )1 2− 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y y a b − −= − ( ) ( ) 2 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b x xy y b x x a y y a +− −∴ = − = − ⋅− + 2 1 2 2 1 2 21 AB y y bk x x a −∴ = = =− 2 22a b∴ = 2 1a c = 2a c∴ = 2 2 2a b c= + 2 21 1,2 4a b= = 2 2 11 1 2 4 x y+ = 2 2 125 9 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2 9, , 4, , ,5A x y B C x y     ( )4,0F 1 2 8x x+ = AC BT k 1 2 8x x+ = AC ( )04,D y A C、 2 2 1 1 125 9 x y+ = 2 2 2 2 125 9 x y+ = ( ) ( )1 2− 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 x x y y− −= − ( ) ( ) 1 21 2 1 2 1 2 0 0 9 9 8 36 25 25 2 25 x xy y x x y y y y +−∴ = − = − ⋅ = −− + DT 025 36DT yk = DT ( )0 0 25 436 yy y x− = − 0y = 64 25x = 64 ,025T      BT 9 0 55 64 44 25 k − = = −例 6 若抛物线 上存在不同的两点关于直线 对称，求实数的取 值范围. 解 当 时，显然满足. 当 时 ， 设 抛 物 线 上 关 于 直 线 对 称 的 两 点 分 别 为 ，且 的中点为 ，则 ，（1） ，（2） 得： ， ， 又 ， . 中点 在直线 上， ，于是 .中点 在 抛物线 区域内 ，即 ，解得 . 综上可知，所求实数的取值范围是 . 5 证明定值问题 例 7 已知 是椭圆 不垂直于轴的任意一条弦，是 的中点， 为椭圆的中心.求证：直线 和直线 的斜率之积是定值. 证明 设 且 ， 则 ，（1） ，（2） 得： ， ， . 又 ， ， （定值）. 6 处理存在性问题 2:C y x= ( ): 3l y m x= − 0m = 0m ≠ C ( ): 3l y m x= − ( ) ( )1 1 2 2, ,P x y Q x y、 PQ ( )0 0,M x y 2 1 1y x= 2 2 2y x= ( ) ( )1 2− 2 2 1 2 1 2y y x x− = − 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2PQ y yk x x y y y −∴ = = =− + 1 PQk m = − 0 2 my∴ = − ( )0 0,M x y ( ): 3l y m x= − ( )0 0 3y m x∴ = − 0 5 2x = M 2y x= 2 0 0y x∴ < 2 5 2 2 m − > AB O AB OP ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2x x≠ 2 2 1 1 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 1x y a b + = ( ) ( )1 2− 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y y a b − −= − ( ) ( ) 2 1 21 2 2 1 2 1 2 b x xy y x x a y y +−∴ = −− + ( ) ( ) 2 1 21 2 2 1 2 1 2 AB b x xy yk x x a y y +−∴ = = −− + 1 2 1 2 OP y yk x x += + 2 2 1 AB OP bk ka ∴ = − ⋅ 2 2AB OP bk k a ∴ ⋅ = −例 8 已知双曲线 ，过 能否作直线 ，使 与双曲线交于， 两点， 且是线段 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 解 假设这样的直线存在，设 的坐标分别为 ，则 ， ，又 ，（1） ，（2） 得： ， 的斜率 又直线 过 三点， 的方程为 ，即 . 但若将 代入 整理得方程 ，而此方程无实数解， 所以满足题设的直线不存在. 2 21 12x y− = ( )1,1B l l Q PQ ,P Q ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y 1 2 2x x+ = 1 2 2y y+ = 2 2 1 1 1 12x y− = 2 2 2 2 1 12x y− = ( ) ( )1 2− ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 02x x x x y y y y+ − − + − = ( ) ( )1 2 1 22 0x x y y− − − = PQ∴ 1 2 1 2 2y yk x x −= =− l , ,P Q B l∴ ( )1 2 1y x− = − 2 1y x= − 2 1y x= − 2 21 12x y− = 22 4 3 0x x− + =