第三章 空间向量与立体几何 3.1~01《空间向量及其运算》（1）（人教A版选修2-1）.doc

第三章 空间向量与立体几何 课题：空间向量及其运算（1） 课时：01 课型：新授课 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会 　　　　　　用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四的第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫 做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　　①用有向线段表示； 　　　②用字母 a、b 等表示； 　　　③用有向线段的起点与终点字母： ． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的 前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆 一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运 算： ⒈向量的加法： AB⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 　　　　实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa， 其长度和方向规定如下： 　　　　　(1)|λa|＝|λ||a| 　　　　　(2)当 λ＞0 时，λa 与 a 同向； 　　　　　　 当 λ＜0 时，λa 与 a 反向； 　　　　　　 当 λ＝0 时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 　　　　　加法交换律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 　　　　　数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量 的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种 运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本 P26～P27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一 个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同 一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平 面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： =a+b， （指向被减向量）， λa 　　［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请 大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： 　　　　⑴加法交换律：a + b = b + a； 　　　　⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证） 　　　　⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb． ［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量．即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为 首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： ． ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成 立． 因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用 平行四边形法则． 例１已知平行六面体 （如图）， 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ABOAOB += OAOBAB −= =OP )( R∈λ nnn AAAAAAAAAA 11433221 =++++ − 011433221 =+++++ − AAAAAAAAAA nnn '''' DCBAABCD −说明：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六 面体．记作 ABCD—A’B’C’D’． 平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 解：（见课本 P27） 说明：由第 2 小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个 向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平 行四边形法则向空间的推广． Ⅲ.巩固练习 课本 P92　　练习 Ⅳ. 教学反思 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平 移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含 平面的平移． 关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业 ⒈ 本 P107 1、2、　 ⒉预习课本 P92～P96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？ ⑹向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么？ ；⑴ BCAB + ；⑵ 'AAADAB ++ '2 1 CCADAB ++⑶ ．⑷ )'(3 1 AAADAB ++⑺空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？ 板书设计： §9.5 空间向量及其运算（一） 一、平面向量复习 二、空间向量 三、例 1 ⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示 ⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结 ⒊运算律 ⒊运算律 教学后记：