拓展资源：斯坦纳—莱默斯定理.doc

斯坦纳-莱默斯定理 “如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形。” 这一命题的逆命题“等腰三角形两底角的平分线长相等”早在二千多年前 的《原本》中就已作为定理，证明是很容易的。但上述原命题在《原本》中只字 未提，直到 1840 年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提 出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。 首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796—1863），因而这一定理 就称为斯坦纳-莱默斯定理。 继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法， 直接证法难度颇大。一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。经过大家的 努 力 ， 出 现 了 许 多 构 思 巧 妙 的 直 接 证 法 。 下 面 给 出 德 国 数 学 家 海 塞 （L.O.Hesse,1811—1874）的证法，供大家欣赏。 如图，已知△ABC 中，两内角的平分线 BD=CE。求证：AB=AC。 证明：作 ，并取 DF=BC，使 F 与 C 分居于直线 BD 的两侧， 如图所示。连接 BF，由已知 BD=CE，得 ≌ 。 。 BDF BCE∠ = ∠ BDF∆ ECB∆ ,DBF BEC BF BE∴∠ = ∠ =连接 CF，设 ，则 因为 ，所以 。在钝 角 中 ， BC=DF ， CF=FC ， 所 以 ≌ ， BF=CD ， 即 BE=CD。于是有 ≌ ， 。所以 AB=AC。 ——摘自谈祥柏《趣味数学辞典》，上海辞书出版社 2 , 2ABC ACBβ γ∠ = ∠ = (180 2 ) 180 ( ), FBC FBD BECβ β β γ β β γ ∠ = ∠ + = ∠ + = °− − + = °− + (180 2 ) 180 ( ). CDF CDB BDF CDB BCE β γ γ β γ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = °− − + = °− + 2 2 180β γ+ < ° 90 , 180 ( ) 90FBC CDFβ γ β γ+ < ° ∠ = ∠ = °− + > ° ,FBC CDF∆ ∆ FBC∆ CDF∆ BCD∆ CBE∆ EBC DCB∠ = ∠