线段的垂直平分线（二）教学设计.doc

第一章 三角形的证明 3．线段的垂直平分线(二) 一、学生知识状况分析 通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验 并掌握了必要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还 是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解． 二、教学任务分析 在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的 主要任务是性质和判定的应用。因此本节课的目标为： 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点 2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形． 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能 力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识． 4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点、难点 重点： ①能够证明与线段垂直平分线相关的结论． ②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 难点：证明三线共点。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：例题解析； 第三环节：引申拓展； 第四环节：动手操作；第五环节：随堂练习；第六环节： 课时小结 ；第五环节：课后作业。 1：情景引入 活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。 活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于 一点的正确性。 活动过程：教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发 现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程)” “三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离 相等．”等都是学生可以发现的直观性质。 下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察 这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流． 教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还 需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．” 这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论． 上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让 学生亲自体验和观察结论的正确性。 2：例题解析 （1）教师引导学生分析，寻找证明方法。 我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线 共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一 下演示过程，或许你能从中受到启示． 通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三 线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．” 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在 第三边的垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明 （2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规 范性。 已知：在△ABC 中，设 AB、BC 的垂直平分线交于点 P， 连接 AP，BP，CP． 求证：P 点在 AC 的垂直平分线上． 证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等)． Q P N M F E CB A O CB A O同理 PB=PC． ∴PA=PC． ∴P 点在 AC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的 垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 P． 进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么 结论?” （交点 P 到三角形三个顶点的距离相等．） （3）多媒体演示我们得出的结论： 定理　　三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距 离相等 3.引申拓展 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作 几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几 个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能 作几个? 学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。 由学生思考可得：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形， 并且能作出无数多个，如下图： 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h 求作：△ABC，使 BC=a，BC 边上的高为 h 1A D CB A a h ( ) 1A DCB A a h 1A DCB A a h从上图我们会发现，先作已知线段 BC=a；然后再作 BC 边上的高 h，但垂足 不确定,我们可将垂足取在线段 BC 上或其所在直线上的任意一点 D，过此点作 BC 边的垂线，最后以 D 为端点在垂线上截取 AD(或 A1D)，使 AD=A1D=h，连 接 AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三 角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件） (2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形 也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到 线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它 上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边 的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．” （3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应 该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． （5）例题学习 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形． 已知：线段 a、h 求作：△ABC，使 AB=AC，BC=a，高 AD=h 作法：1．作 BC=a； 2．作线段 Bc 的垂直平分线 MN 交 BC 于 D 点； 3．以 D 为圆心，h 长为半径作弧交 MN 于 A 点； 4．连接 AB、AC ∴△ABC 就是所求作的三角形(如图所示)． （6）做一做：课本第 25 页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法 叙述的准确性加以更正。 4.动手操作 （1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。 （2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使 N M D CB A它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. 5.随堂练习:：习题 1.8 第 1、2 题。 6.课时小结 本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直 平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结 论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”． 7.课后作业 习题 1．8 第 3、4 题 四、教学反思 本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已 知线段的垂直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形， 从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。