第三章 空间向量与立体几何 3.1~02《空间向量及其运算》（2）（人教A版选修2-1）.doc

课题：空间向量及其运算（2） 课时：02 课型：新授课 教学目标： 1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程： （一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解： 1．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作： 平行于 ，记作： ． 2．共线向量定理： 对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数 ，使 （ 唯 一）． 推论：如果 为经过已知点，且平行于已知向量 的直线，那么对任一点 ，点在直线 上的 充要条件是存在实数，满足等式 ①，其中向量 叫做直线 的方向向量。在 上取 ，则①式可化为 或 ② 当 时，点是线段 的中点，此时 ③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段 的中点公式． 3．向量与平面平行： 已知平面和向量 ，作 ，如果直线 平行于或在内，那么我们说向量 平行于 平面，记作： ． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． a b //a b , ( 0), //a b b a b≠    λ a bλ=  λ l a O l OP OA t AB= +   a l l AB a=  OP OA t AB= +   (1 )OP t OA tOB= − +   1 2t = AB 1 ( )2OP OA OB= +   AB a OA a=  OA a //a α al P B A O a a α4．共面向量定理： 如 果 两 个 向 量 不 共 线 ， 与 向 量 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 使 ． 推 论 ： 空 间 一 点 位 于 平 面 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 ， 使 或对空间任一点 ，有 ① 上面①式叫做平面 的向量表达式． （三）例题分析： 例 1．已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件 ， 试判断：点与 是否一定共面？ 解：由题意： ， ∴ ， ∴ ，即 ， 所以，点与 共面． 说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的 充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点 和不共线的三点 ，问满足向量式 （其中 ）的四点 是否共面？ 解：∵ ， ∴ ， ∴ ，∴点与点 共面． 例 2．已知 ，从平面 外一点 引向量 ， （1）求证：四点 共面； （2）平面 平面 ． ,a b p ,a b ,x y p xa yb= +   MAB ,x y MP xMA yMB= +   O OP OM xMA yMB= + +    MAB , ,A B C 1 2 2 5 5 5OP OA OB OC= + +    , ,A B C 5 2 2OP OA OB OC= + +    ( ) 2( ) 2( )OP OA OB OP OC OP− = − + −      2 2AP PB PC= +   2 2PA PB PC= − −   , ,A B C O , ,A B C OP xOA yOB zOC= + +    1x y z+ + = , , ,P A B C (1 )OP z y OA yOB zOC= − − + +    ( ) ( )OP OA y OB OA z OC OA− = − + −      AP yAB zAC= +   , ,A B C ABCD AC O , , ,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD= = = =        , , ,E F G H AC // EG O A B CD H F G E解：（1）∵四边形 是平行四边形，∴ ， ∵ ， ∴ 共面； （2）∵ ，又∵ ， ∴ 所以，平面 平面 ． 五、课堂练习：课本第 96 页练习第 1、2、3 题． 六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论； 2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式． 七、作业： 1 ． 已 知 两 个 非 零 向 量 不 共 线 ， 如 果 ， ， ， 求证： 共面． 2．已知 ， ，若 ，求实数 的值。 3．如图， 分别为正方体 的棱 的中点， 求证：（1） 四点共面；（2）平面 平面 ． 4．已知 分别是空间四边形 边 的中点， （1）用向量法证明： 四点共面； （2）用向量法证明： 平面 ． ABCD AC AB AD= +   EG OG OE= −   ( ) ( ) ( ) k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH = ⋅ − ⋅ = − = = + = − + − = − + − = +                  , , ,E F G H ( )EF OF OE k OB OA k AB= − = − = ⋅      EG k AC= ⋅  // , //EF AB EG AC //AC EG 21,e e  21AB e e= +   212 8AC e e= +   213 3AD e e= −   , , ,A B C D 3 2 4 , ( 1) 8 2a m n p b x m n yp= − − = + + +       0a ≠  //a b ,x y , , ,E F G H 1AC 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,A B A D B C D C , , ,E F D B AEF // BDHG , , ,E F G H ABCD , , ,AB BC CD DA , , ,E F G H //BD EFGH D1 C1 B1A 1 H GF E D C BA A B C D F E G H