第三章 空间向量与立体几何 3.1~03《空间向量的数量积》（1）（人教A版选修2-1）.doc

课题：空间向量的数量积（1） 课时：03 课型：新授课 教学目标： 1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简 单问题。 教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取 的精神． 教学过程 学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解： 1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规定 ，显然有 ； 若 ，则称 与 互相垂直，记作： ； 2．向量的模： 设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： ； 3．向量的数量积： 已知向量 ，则 叫做 的数量积，记 作 ，即 ． 已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量， ,a b O ,OA a OB b= =   AOB∠ a b ,a b< > 0 ,a b π≤< >≤ , ,a b b a< >=< >   , 2a b π< >= a b a b⊥  OA a=  OA a | |a ,a b | | | | cos ,a b a b⋅ ⋅ < >   ,a b a b⋅  a b⋅ = | | | | cos ,a b a b⋅ ⋅ < >   AB a=  l e l l A C B A′ B′ e作点在 上的射影 ，作点在上的射影 ，则 叫做向量 在轴 上或在 上的正射影；可 以证明 的长度 ． 4．空间向量数量积的性质： （1） ． （2） ． （3） ． 5．空间向量数量积运算律： （1） ． （2） （交换律）． （3） （分配律）． （三）例题分析： 例 1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。 已知： 是平面内的两条相交直线，直线 与平面的交点为，且 求证： ． 证明：在内作不与 重合的任一直线， 在 上取非零向量 ，∵ 相交， ∴向量 不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对 ，使 ， ∴ ，又∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， 所以，直线 垂直于平面内的任意一条直线，即得 ． l A′ l B′ A B′ ′ AB l e A B′ ′ | | | | cos , | |A B AB a e a e′ ′ = < >= ⋅      | | cos ,a e a a e⋅ = < >     0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   2| |a a a= ⋅   ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     a b b a⋅ = ⋅   ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅      ,m n l ,l m l n⊥ ⊥ l α⊥ ,m n , , ,l m n g , , ,l m n g    ,m n ,m n  ( , )x y g xm yn= +   l g xl m yl n⋅ = ⋅ + ⋅     0, 0l m l n⋅ = ⋅ =   0l g⋅ =  l g⊥  l g⊥ l l α⊥ l m n m n g g l例 2．已知空间四边形 中， ， ，求证： ． 证明：（法一） ． （法二）选取一组基底，设 ， ∵ ，∴ ，即 ， 同理： ，， ∴ ， ∴ ，∴ ，即 ． 说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知 向量，然后通过向量运算取计算或证明。 例 3 ． 如 图 ， 在 空 间 四 边 形 中 ， ， ， ， ， ， ，求 与 的夹角的余弦值。 解：∵ ， ∴ ∴ ， 所以， 与 的夹角的余弦值为 ． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 易错写成 ，切 记！ 五．巩固练习：课本第 99 页练习第 1、2、3 题。 ABCD AB CD⊥ AC BD⊥ AD BC⊥ ( ) ( )AD BC AB BD AC AB⋅ = + ⋅ −      2 AB AC BD AC AB AB BD= ⋅ + ⋅ − − ⋅       ( ) 0AB AC AB BD AB DC= ⋅ − − = ⋅ =      , ,AB a AC b AD c= = =      AB CD⊥ ( ) 0a c b⋅ − =   a c b a⋅ = ⋅    a b b c⋅ = ⋅    a c b c⋅ = ⋅    ( ) 0c b a⋅ − =   0AD BC⋅ =  AD BC⊥ OABC 8OA = 6AB = 4AC = 5BC = 45OAC∠ =  60OAB∠ =  OA BC BC AC AB= −   OA BC OA AC OA AB⋅ = ⋅ − ⋅      | | | | cos , | | | | cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB= ⋅ ⋅ < > − ⋅ ⋅ < >        8 4 cos135 8 6 cos120 24 16 2= × × − × × = −  24 16 2 3 2 2cos , 8 5 5| | | | OA BCOA BC OA BC ⋅ − −< >= = =×⋅      OA BC 3 2 2 5 − , 135OA AC< >=   , 45OA AC< >=   O A B C六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。 七．作业：课本第 106 页第 3、4 题 补充： 1．已知向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ， 试求：（1） ；（2） ；（3） ． a b⊥  c ,a b  60 | | 1,| | 2,| | 3a b c= = =   2( )a b+  2( 2 )a b c+ −   (3 2 ) ( 3 )a b b c− ⋅ −   