第三章 空间向量与立体几何 3.1~05《空间向量正交分解及坐标表示》（人教A版选修2-1）.doc

课题：空间向量运算的坐标表示【示范课】 课时:05 课型：新授课 教学目标： （1） 知识目标 通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以 及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题. （2）能力目标 ①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐 标表示，渗透类比的数学方法； ②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形 中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力. 教学重点：空间向量运算的坐标表示 教学难点：空间向量运算的坐标表示的应用 教学方法：启发诱导、练讲结合 教学用具：多媒体、三角板 教学过程： 一、复习引入：平面向量的坐标运算： 设 ，则 (1) (2) 即 (3) 1 2 1 2 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ), ( , )a a a b b b A x y B x y= =  1 1 2 2( , )a b a b a b+ = + +  1 1 2 2( , )a b a b a b− = − −  1 2( , )( )a a a Rλ λ λ λ= ∈ 1 1 2 2a b a b a b⋅ = +  // ( 0)a b b a bλ≠ ⇔ =      1 1 2 2,a b a bλ λ= = a b⊥ ⇔  0a b⋅ =  ⇔ 1 1 2 2 0a b a b+ = 2 2 1 2| |a a a= + 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ 二、新授： （一）空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：i,j,k 是空间三个方向的单位向量，而且两两垂直，则{i,j,k}就叫做单 位正交基底。 （2）空间向量的基本定理：如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p，存在有序实 数组{i,j,k}，使得 p= xi+yj+zk （二）空间向量运算的坐标表示： 设 ，则 (1) (2) 即 (3) （二）应用举例 例 1 已知向量 ，若 ，则 ______； 若 则 ______. 答案： 2 2 2 1 2 1| | ( ) ( )ABd AB x x y y= = − + − 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos , | || | a b a ba ba b a b a a b b +⋅= = + +      1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b A x y z B x y z= =  1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b+ = + + +  1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b− = − − −  1 2 3( , , )( )a a a a Rλ λ λ λ λ= ∈ 1 2 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + +  // ( 0)a b a b bλ⇔ = ≠      1 1 2 2 3 3, ,a b a b a bλ λ λ= = = a b⊥ ⇔  0a b⋅ =  ⇔ 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b+ + = 2 2 2 1 2 1| |a a a a= + + 2 1 2 1 2 1( , , )AB OB OA x x y y z z= − = − − −   2 2 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )ABd AB x x y y z z= = − + − + − 1 1 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , | || | a b a b a ba ba b a b a a a b b b + +⋅= = + + + +      ),2,4(),3,1,2( xba −=−=  a ⊥ b =x //a b =x（2） ； 例 2．如图，在正方体 中，点 分别是 的一个四等分点，求 直线 与 所成角的余弦值. 解：略 练习：如图，棱长为 1 的正方体 中，点 是 的中 点，求 与 所成的角的余弦值. 思考：你能总结出利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤吗？ （1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点） （2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化） （3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论） 练习： 探究： 三、课堂总结： 1.知识 （1）空间向量的坐标运算； （2）利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. 2.方法 （1）类比 （2）数形结合 四、作业布置： 课本 P98： 习题 3.1 A 组 T5---T10（必做） T11（选做） 五、教后记（教学反馈及反思）： 10 , 63x x= = − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1,E F 1 1 1 1,A B C D 1BE 1DF 1 1 1 1ABCD A B C D− M AB 1DB MC