第三章 空间向量与立体几何 3.2~06《立体几何中的向量方法求空间距离》（1）（人教A版选修2-1）.doc

课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】 课时：06 课型：新授课 教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤， 而转化为向量间的计算问题． （1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法： 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离. 在 中， 又 （其中 为斜向量， 为法向量） 例１：如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离． 分析：由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量 法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离． 解：如图，设 4i， 4j， 2k， 以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C－xyz． 由 题 设 C(0,0,0) ， A(4,4,0) ， B(0,4,0) ， D(4,0,0) ，E(2,4,0) ，F(4,2,0) ，G(0,0,2)． ∴　 ， ， 　　　　 ， ， (2,0,0)BE = (4, 2,0)BF = − (0, 4, 2)BG = − (2, 4, 2)GE = − PAORt∆ θθ sin|| || sin APd AP d =⇒= |||| ||sin nAP nAP ⋅=θ || || n nAPd ⋅=∴ AP n =CD =CB =CG • α O P θ n A d • α O P θ n A d l． 设 平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a、b、c，使得 ， ∴　 ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)． 由 平面 EFG，得 ， ，于是 　　 ， ． ∴　 整理得： ，解得 ． ∴　 ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝ ． ∴　 故点 B 到平面 EFG 的距离为 ． 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共 面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了． 例 2： 如图，在正方体 中，棱长为 1，为 的中点，求下列问题： （1） 求 到面 的距离； 解：如图，建立空间直角坐标系 ，则 ，设 为面 的法向量 (2, 2,0)EF = − BM ⊥ BM aBE bBF cBG= + +    ( 1)a b c+ + = (2,0,0) (4, 2,0) (0, 4, 2)BM a b c= + − + − BM GE⊥ BM EF⊥ 0BM GE⋅ =  0BM EF⋅ =  (2 4 , 2 4 ,2 ) (2,4, 2) 0 (2 4 , 2 4 ,2 ) (2, 2,0) 0 1 a b b c c a b b c c a b c + − − ⋅ − =  + − − ⋅ − =  + + = 15 11 7 11 3 11 a b c  =  = −   = BM 2 2 22 2 6 2 11| | 11 11 11 11BM      = + + =            ⊥BM    =++ =++ =− 1 023 05 cba cba ca )11 6,11 2,11 2( 11 112 1111 DCBAABCD − 11DC 1B BEA1 xyzD − ),1,1,0(),0,2 1,1( 11 −=−=∴ BAEA ),,( zyxn = BEA1 A B CD 1A 1B 1C1D E y z x则 取 ，得 ， 选点 到面 的斜向量为 得点 到面 的距离为 课后练习： 1．如图在直三棱柱 中， , ， ，求点 到面 的距离. 2.在三棱锥 中， 是边长为 4 的正三角形，平面 平面 ，黄肌瘦 ， 、 分别为 、 的中点,求点到平面 的距离.    =− =+−⇒    =⋅ =⋅ 0 02 1 0 0 1 1 zy yx BAn EAn 1=x 2,2 == zy )2,2,1(=∴n 1B BEA1 )0,1,0(11 =BA 1B BEA1 3 2 || || 11 =⋅= n nBAd 111 CBAABC − 1== BCAC °=∠ 90ACB 21 =AA 1B BCA1 ABCS − ABC∆ ⊥SAC ABC 32== SCSA M N AB SB CMN A B CD 1A 1B 1C1D E y z x B1A1 B C1 A C教学反思: S A B C N M O