第三章 空间向量与立体几何 3.2~08《立体几何中向量方法求角度》（1）（人教A版选修2-1）.doc

课题:向量计算空间角（1） 课时：08 课型：新授课 教学内容及过程 （一）知识梳理： 1.巩固复习，由学生填写，教师课件演示 1.求两条异面直线所成的角 设 , 分别是两条异面直线 , 的方向向量,则 , 所成的角 与 夹角 范围 求法 2.求直线与平面所成的角 设直线 的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线 与平面所成的角为 ,则 3.求二面角的大小 (1)若 , 分别是二面角 两个半平面内与棱 垂直的异面直线,则二面角的大 小就是_________________的夹角 (2)设 , 分别是二面角 两个面, 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补 角)的大小就是____________的大小 （二.）基础自测 让学生独立完成，检验所学知识，教师进行点评 1．在正方体 中,是 的中点,则异面直线 与 所成的角余弦值为( ) . . . . 2.在三棱锥 中, 平面 , , 分别是棱 的中点, .则直线 与平面 所成的角正弦值为( ) a b 1l 2l 1l 2l a b >< ba , l a n l θ =θsin AB CD βα −− l l 1n 2n βα −− l β 1n 2n ABCDDCBA −1111 11DC DE AC 10 10− 20 1− 20 1 10 10 ABCP − ⊥PA ABC 90BAC =∠ FED ,, CPBCAB ,, 2,1 === PAACAB PA DEFA． B. C. D. 3. 二面角的棱上有 两点,直线 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 ,已知 ,则该二面角的大小为( ) . . . . 4.已知空间四边形 的各边和对角线的长都等于,点 分别是直线 的中点, 则异面直线 与 所成的角余弦值为___________ （三）、规律方法总结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）用空间向量解决立体几三步曲： 1. 化为向量问题或向量的坐标问题 2. 进行向量运算 3 .回到图形 （2）两种思维方法： 用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维： （1）一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系； （2）另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法 需要建系． （四）、典例分析（教师讲解，师生共同完成） 例 1. 如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面 AC，且 PA=1． （1）试建立适当的坐标系，并写出点 P、B、D 的坐标； （2）问当实数 a 在什么范围时，BC 边上能存在点 Q， 使得 PQ⊥QD？ BA, BDAC, AB 172,8,6,4 ==== CDBDACAB 150 45 60 120 ABCD NM , CDAB, AN CM Q P D C B A（3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ⊥QD 时， 求二面角 Q-PD-A 的大小． 解析：（1）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分 别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示． ∵PA=AB=1，BC=a， ∴P（0，0，1），B（1，1，0）， D（0，a，0）． （2）设点 Q（1，x，0），则 ． 显然当该方程有实数解时，BC 边上才存在点 Q，使得 PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0． 因 a>0，故 a 的取值范围为 a≥0． （3）易见，当 a=2 时，BC 上仅有一点满足题意，此时 x=1，即 Q 为 BC 的中点． 取 AD 的中点 M，过 M 作 MN⊥PD，垂足为 N，连结 QM、QN．则 M（0，1，0），P（0，0，1），D （0，2，0）． ∵D、N、P 三点共线， ∴ ． 又 ，且 ， 故 ． 于是 ． 故 ． ∵ ， ∴ ． ∴∠MNQ 为所求二面角的平面角． (1, ,0), ( 1, ,1)DQ x a QP x= − = − −  (0,1,0) (0, 1,1) (0,1 , ) 1 1 1 MD MPMN + λ + λ − − λ λ= = =+ λ + λ + λ   (0,2, 1)PD = − 0MN PD• =  (0,1 , ) 2 3 2(0,2, 1) 01 1 3 − λ λ − λ• − = = ⇒ λ =+ λ + λ 2 2(0,1 , ) 1 23 3 (0, , )2 5 51 3 MN − = = +  1 2(1, , )5 5NQ NM MQ MN AB= + = − + = − −     1 20 2 ( ) ( 1) ( ) 05 5PD NQ• = + × − + − × − =  PD NQ⊥ ∵ ， ∴所求二面角为 ． 方法小结：二面角的计算可以二面角的定义和采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化 为对平面法向量的求解。最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角， 异向的话就是二面角的平面角。 例 2. 如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F 分别是线 段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1． （1）求二面角 C-DE-C1 的正切值； （2）求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值． 解析：（1）如图，以 A 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角 坐标系 A-xyz，则有 D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)． 于是， ， ． 设向量 与平面 C1DE 垂直，则有 ． ∴ 其中 z＞0． 取 n0=(-1，-1，2)，则 n0 是一个与平面 C1DE 垂直的向量． ∵向量 =（0，0，2）与平面 CDE 垂直， 6cos 6| | | | NM NQMNQ NM NQ •∠ = =      6arccos 6 1,, AAADAB 1(3, 3,0), (1,3,2)DE EC= − =  1 ( 4,2,2)FD = − ( , , )x y z=n 1 3 3 0 1 3 2 0 2 DE x y x y zx y zEC ⊥ − =  ⇒ ⇒ = = − + + =⊥    n n ( , , ) ( 1, 1,2),2 2 2 z z zz= − − = − −n 1AA A E D C B A1 F D1 C1 B1∴n0 与 所成的角 θ 为二面角 C-DE-C1 的平面角． ∵ ， ∴ ． （2）设 EC1 与 FD1 所成角为β，则 ． 方法小结：空间向量在解决异面直线所成角的计算时，通常要先建立空间直角坐标系，然后 利用计算出两个向量的坐标在带入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是 ， 而异面直线所成角的范围确是 ，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。 小结: 体会向量方法在研究立体几何问题的作用，体会数学转化的思想。 1AA 0 1 0 1 1 0 1 0 2 2 6cos 3| | | | 1 1 4 0 0 4 AA AA − × − × + ×θ = = = × + + × + +    n n 2tan 2 θ = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 4) 3 2 2 2 21cos 14| | | | 1 3 2 ( 4) 2 2 EC FD EC FD × − + × + ×β = = = × + + × − + +    