第三章 空间向量与立体几何 3.2~09《立体几何中向量方法求角度》（2）（人教A版选修2-1）.doc

课题：立体几何中向量方法求角度(2) 课时：09 课型：新授课 课后作业： 1．已知正方体 的棱长为 2， 分别是 上的动点，且 ， 确定 的位置，使 ． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 ， 得 ， ． 那么 ， 从而 ， ， 由 ， 即 ． 故 分别为 的中点时， ． 2．如图 4，在底面是直角梯形的四棱锥 中， ， 面 ， ，求面 与面 所成二面角的正 切 值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 延长 交轴于点，易得 ， 作 于点，连结 ， 则 即为面 与面 所成二面角的平面角． 又由于 且 ，得 ， 那么 ， ， 1 1 1 1ABCD A B C D− P Q， BC CD， 2PQ = P Q， 1 1QB PD⊥ BP t= 22 (2 )CQ t= − − 22 2 (2 )DQ t= − − − 2 1 1(2 0 2) (0 2 2) (2 0) (2 2 (2 ) 2 0)B D P t Q t− − −，，， ，，， ， ，， ，， 2 1 ( 2 (2 ) 2 2)QB t= − − − ， ， 1 ( 2 2 2)PD t= − − ， ， 1 1 1 1 0QB PD QB PD⊥ ⇒ = · 22 2 (2 ) 2(2 ) 4 0 1t t t− − − − − + = ⇒ = P Q， BC CD， 1 1QB PD⊥ S ABCD− 90ABC∠ = ° SA ⊥ ABCD 11 2SA AB BC AD= = = =， SCD SBA 1(0 0 0) ( 1 0 0) ( 11 0) 0 0 (0 01)2A B C D S − −   ，，， ，，， ，，， ，， ， ，， CD (1 0 0)F ，， AE SF⊥ DE DEA∠ SCD SBA SA AF= SA AF⊥ 1 102 2E    ，， 10 2EA  = − −    ，，1 2 1 1 1 2 2 2ED  = − −    ，，从而 ， 因此 ． 故面 与面 所成二面角的正切值为 ． 3．如图 2，正三棱柱 的底面边长为，侧棱长为 ，求 与侧面 所成 的角． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 由于 是面 的法向量， ． 故 与侧面 所成的角为 ． 4．平行六面体 的底面 是菱形，且 ，试问： 当 的值为多少时， 面 ？请予以证明． 解：欲使 面 ，只须 ，且 ． 欲证 ，只须证 ， 即 ， 也就是 ， 即 ． 由于 ， 显然，当 时，上式成立； 同理可得，当 时， ． 6cos 3 EA EDEA ED EA ED = =     ， · 2tan 2EAF ED = ， SCD SBA 2 2 1 1 1 −ABC A B C 2a 1AC 1 1ABB A 1 1 3(0 0 0) (0 0) (0 0 2 ) 22 2  −    ，，， ， ，， ，， ， ，，aA B a A a C a a ( 1 0 0)= − ，，n 1 1ABB A 1 1 1 1 3 12cos 6023 aACAC AC aAC = = = ⇒ =   ， ，· °nn n n 1AC 1 1ABB A 30° 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1 1C CB C CD BCD∠ = ∠ = ∠ 1 CD CC 1AC ⊥ 1C BD 1AC ⊥ 1C BD 1 1AC C D⊥ 1 1AC C B⊥ 1 1AC C D⊥ 1 1 0CA C D = · 1 1( ) ( ) 0CA AA CD CC+ − =   · 1 1( ) ( ) 0CD CB CC CD CC+ + − =    · 2 2 1 1 1cos cos 0CD CC CB CD BCD CB CC C CB− + ∠ − ∠ =      1C CB BCD∠ = ∠ 1CD CC=  1CD CC=  1 1AC C B⊥因此，当 时， 面 ． 5.如图：ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD，M、N 分别是 PC、AB 中点， (1)求证：MN⊥平面 PCD；(2)求 NM 与平面 ABCD 所成的角的大小. 6.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是 300，求这条线段与这个 二面角的棱所成的角的大小. 7.正四棱锥 S—ABCD 中，所有棱长都是 2，P 为 SA 的中点，如图. (1)求二面角 B—SC—D 的大小；(2)求 DP 与 SC 所成的角的大小. 1 1CD CC = 1AC ⊥ 1C BD8.如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱 AA1=2，M、N 分别 是 A1B1，A1A 的中点； (1)求 (2) (3)求 CB1 与平面 A1ABB1 所成的角的余弦值. ;,cos 11 的值>< CBBA .: 11 MCBA ⊥求证