曲线与方程1(选修2-1).doc

§2．1　曲线与方程 §2．1．1 曲线与方程 【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形 式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮 助。 【教学目标】： 知识与技能 1、 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系， 2、 领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理； 过程与方法 1. 在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归 与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法； 2. 体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法. 情感态度与价值观 培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、 敢于创新的精神 【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系 【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性） 【课前准备】：多媒体、实物投影仪 【教学过程设计】： 教学环 节 教学活动 设计意图 一．复 习、引 入 1、问题：(1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方 程之间的关系； 观察、思考，求得方程为 引导学生分析：（1）如果点 是这条直线上的任意一 点，则它到两坐标轴的距离相等，即 ，那么它的坐标 是方程 的解。 （2）如果 是方程 的解，即 ，则以这个 解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。 通过学生已熟悉的两种曲 线引入，有利于学生在已 有知识基础上开展学习； 提出新问题，创设情景， 引发学习兴趣。 二．复 习、引 (2) 仿照（1）说明：以 为圆心，以 r 为半径的圆与 引导学生在前一个例子的 基础上类比归纳，得出结 xy = 0 0( , )M x y 0 0x y= 0 0( , )x y xy = 0 0( , )x y xy = 0 0x y= ( , )a b入 方程 的关系 ⑴ 设 M(xo,yo)是圆上任一点，则它到圆心的距离等于 半径 ， 即 ，即： ， 这就是说，(xo,yo)是此方程的 解 ； ⑵ 如果(xo,yo)是方程 的解，则可以推得 ，即点 M(xo,yo)到圆心的距离等于半 径 ，点 M 在 圆 上。 论，使他们理解几何中的 “形”与代数中的“数” 的统一，为“依形判数” 和“就数论形”的相互转 化奠定了扎实的基础．这 正体现了解析几何的基 本思想，对解析几何教学 有着深远的影响． 三．讲 解定义 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作 C；一个关于 x,y 的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描 述了一个点集，记作 F 请大家思考：如何用集合 C 和点集 F 间的关系来表达“曲 线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表 述以上定义 关系(1)指集合 C 是点集 F 的子集，关系(2)指点集 F 是点 集合 C 的子集． 这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的 方程”与“方程的曲线”， 即： 3．练习：下列方程表示如图所示的直线 C，对吗？为什么？ （1） ; （2） ; （3）|x|-y=0. 上题供学生思考，口答． 解：方程(1)、(2)、(3)都不是表 上述概念是本课的重点 和难点，让学生自己通过 讨论归纳出来，老师再说 清楚这两大性质(纯粹性 和完备性)的含义，使学 生初步理解这个概念 通过引导学生运用集合的 表述，使学生对曲线和方 程的关系的理解得到加 深和强化，在记忆中上也 趋于简化 通过反倒加深对定义的理 解。 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0 0( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0 0( ) ( )x a y b r− + − = 0),( =yxf FCCF FC =⇔    ⊆ ⊆ )2( )1( 0=− yx 022 =− yx y x-1 1 1 0示曲线 C 的方程． 第（1）题中曲线 C 上的点不全都是方程 的 解，如点(-1,-1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的 解”这一结论； 第(2)题中，尽管“曲线 C 上的坐标都是方程的解”，但以 方程 的解为坐标的点不全在曲线 C 上，如点(2，-2) 等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论； 第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都 是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实 上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况： 四．例 题 1．例 1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨 迹方程是 证明：（1）如图，设 是轨迹上的任意一点，因为点 M 与 x 轴的距离为 ，与 y 轴的距离为 ，所以： ， 即 是 方 程 的 根 ； 通过例题巩固定义。 (1) x- y=0 0 1 1-1 x y y x-1 1 1 0 (2)x2-y2=0 y x-1 1 1 0 (3)|x|-y=0 0=− yx 022 =− yx ( 0)k k > xy k= ± 0 0( , )M x y 0| |y 0| |x 0 0| | | |x y k⋅ = 0 0( , )x y xy k= ± （2）设点 的坐标 是方程 的根， 则： ，即 ，而 、 是点 到横轴、纵轴的距离，因此点 到这两条直线的距离的积是常数 k，点 是曲线上的点。 由（1）（2）可知， 是与两条坐标轴的距离的积为 常数 的点的轨迹方程 五．练 习 1．教科书 P37 练习 1、2 六．小 结 1、 曲线与方程的关系 2、 如何证明、判断曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程 3、 曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关 系？ 五、作 业 教科书习题 2.1 A 组 1、2 练习与测试： 1．如果曲线 C 上的点满足方程 F（x,y)=0，则以下说法正确的是（ ） A.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 C C.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 C 上 D.坐标不满足方程 F（x,y)=0 的点不在曲线 C 上 2.判断下列结论的正误，并说明理由. （1）过点 A（3，0）且垂直于 x 轴的直线的方程为 x=0; (2)到 x 轴距离为 2 的点的直线方程为 y=-2; (3)到两坐标轴的距离乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1; (4)△ABC 的顶点 A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D 为 BC 中点，则中线 AD 的方程为 x=0 3.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0 的曲线经过点 A（0，-3）、B（0，4）、C（ ）、D（4，0） 中的（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.已知点 A（-3，0），B（0， ），C（4，- ），D（3secθ, tanθ),其中在曲线 上的点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5．证明动点 P(x，y)到定点 M(-a，0)的距离等于 a(a＞0)的轨迹方程是 6.如果两条曲线的方程 F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0，它们的交点 M（x0,y0)，求证：方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 表示的曲线也经过 M 点.（λ为任意常数） 新疆 学案 王新敞 1M 1 1( , )x y xy k= ± 1 1x y k= ± 1 1| | | |x y k⋅ = 1| |y 1| |x 1M 1M 1M xy k= ± ( 0)k k > 4 7,3 5 − 5 3 35 5 4595 22 =− yx 0222 =++ axyx练习与测试解答： 1.分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解， 即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解 不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线 解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选 D 2.分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性 和完备性. 解：（1）满足曲线方程的定义.∴结论正确 （2）因到 x 轴距离为 2 的点的直线方程还有一个；y=2，即不具备完备性. ∴结论错误. （3）到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程应为｜x｜·｜y｜=1,即 xy=±1. ∴所给问题不具备完备性 ∴结论错误 （4）中线 AD 是一条线段，而不是直线， ∴x=0(-3≤y≤0), ∴所给问题不具备纯粹性. ∴结论错误. 3.分析：方程表示的两条直线 3x-4y-12=0 和 x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于 0， ∴x+2y＞0 解：由对数的真数大于 0，得 x+2y＞0. ∴A(0,-3)、C( )不合要求 将 B（0，4）代入方程检验，不合要求. 将 D（4，0）代入方程检验，合乎要求. 故选 B. 4.分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方 程的解，这个点就在该方程表示的曲线上. 解：将点 A（-3，0）、B（0， ）、C（4，- ）、D（3secθ, tanθ)代入方程 检验，只有点 A 和点 B 满足方程. 故选 B. 5．仿照课本例子，分两种情况易证 6.分析：只要将 M 点的坐标代入方程. F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看点 M 的坐标是否满足方程即可 证明：∵M(x0,y0)是曲线 F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0 的交点， ∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. ∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R) ∴M(x0,y0)在方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 所表示的曲线上. 评述：方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 也称为过曲线 F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0 的交点的曲线系方程 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 4 7,3 5 − 5 3 35 5 4595 22 =− yx 4595 22 =− yx