.2.3.5三垂线定理（1）教案 新人教A版必修2.doc

课题：2.2.3.5 三垂线定理（尖刀班）（1） 课 型：新授课 一、课题：三垂线定理 二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义； 2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线 垂直问题。 三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关 系． 四、教学过程： （一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： （二）新课讲解： 1．射影的有关概念： （1）点的射影：自一点 向平面 引垂线，垂足 叫做 在平面 内的正射影（简称 射影）。 （2）图形的射影：如果图形 上所有点在一个平面内的射影构成图形 ，则 叫做 在 这个平面内的射影． 2．斜线的有关概念： （1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线； （2）斜足：斜线和平面的交点； （3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段． 由此，斜线段 在平面内的射影仍为线段， 即为线段 ． 3．三垂线定理： 定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直。 已知： 分别是平面 的垂线和斜线， 是 在平面 内的射影， ， 且 求证： ； 证明：∵ ∴ ，又∵ ∴ 平面 ， ∴ ． P α P′ P α F F′ F′ F AB 0A B ,PO PA α OA PA α a α⊂ a OA⊥ a PA⊥ PO α⊥ PO a⊥ ,a OA PO OA O⊥ = a ⊥ POA a PA⊥ A 0 A 0A 0(B0) A 0 A 0(A0)A 0 B0B0B0B0 B B BBB A AA A A A A α BA0 A a α O A Pα P O E F C B A 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式： ． 4．三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证 明 略） 推理模式： ． 练习： 在平面 内， 于点 ，请指出图形中的 直角三角形。 三．例题分析： 例 1．已知：点 是 的垂心， ，垂足为 ， 求证： ． 证明：∵点 是 的垂心， ∴ 又∵ ，垂足为 ， 所以，由三垂线定理知， ． 例 2．如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个 角的角平分线上． 已 知 ： 在 平 面 内 ， 点 ， 垂 足 分 别 为 ， 求证： ． 证明：∵ ， ∴ （三垂线定理逆定理） , , PO O PA A a PA a a OA α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   , , PO O PA A a AO a a AP α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   Rt ABC∆ α 90 , ,C PC CD ABα∠ = ⊥ ⊥ D , , , , , Rt ABC Rt ADC Rt BDC Rt PDA Rt PDB Rt PCA Rt PCB Rt PCD ∆ ∆ ∆   ∆ ∆   ∆ ∆ ∆  O ABC∆ PO ABC⊥ 平面 O PA BC⊥ O ABC∆ AD BC⊥ PO ABC⊥ 平面 O PA ABC A=平面 PA BC⊥ BAC∠ α , , ,P PE AB PF AC POα α∉ ⊥ ⊥ ⊥ , , ,E F O PE PF= BAO CAO∠ = ∠ , ,PE AB PF AC PO α⊥ ⊥ ⊥ ,AB OE AC OF⊥ ⊥ α D C BA P O D A C B P∵ ，∴ ， ∴ ，又∵ ， ∴ ∴ ． 例 3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔 ，高 ，只有量角器和 尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？ 解：在道路边取点 ，使 与道路边所成的水平角等于 ， 再在道路边取一点 ，使水平角 ， 测得 的距离等于 ， ∵ 是 在平面上的射影，且 ∴ （三垂线定理） 因此斜线段 的长度就是塔顶与道路的距离， ∵ ，∴ ， 在 中得 ， 答：电塔顶与道路距离是 ． 四、课堂小结： 1．射影和斜线的有关概念； 2．三垂线定理及其逆定理． 五、作业： 1．在正方体 中，求证：正方体的对角线 垂直于平面 ． 2．如图， 是矩形， 平面 ，点 分别是 的中点， 求证： ． 3．已知：如图若直角 的一边 平面 ，另一边 和平面 斜交于点 ，求 证： 在平面 上的射影仍为直角。 课后记： ,PE PF PA PA= = Rt PAE Rt AOF∆ ≅ ∆ AE AF= AO AO= Rt AOE Rt AOF∆ ≅ ∆ BAO CAO∠ = ∠ AB 15m C BC 90 D 45CDB∠ =  ,C D 20m BC AC CD BC⊥ CD AC⊥ AC 45 , , 20CDB CD BC CD m∠ = ⊥ = 20BC m= Rt ABC∆ 2 2 2 2| | 15 20 25( )AC AB BC m= + = + = 25m 1AC 1AC 1 1AB D ABCD PA ⊥ ABCD ,M N ,AB PC AB MN⊥ ABC∠ //BC α AB α A ABC∠ α A B C D M N P