.2.3.6三垂线定理（2）教案 新人教A版必修2.doc

课题：2.2.3.6 三垂线定理（2） 课 型：新授课 一、课题：三垂线定理（2） 二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容； 2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用． 三、教学重、难点：三垂线定理的应用。 四、教学过程： （一）复习： 1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习： 已知：在正方体 中，求证：（1） ；（2） ． （二）新课讲解： 例 1 ． 点 为 所 在 平 面 外 的 一 点 ， 点 为 点 在 平 面 内 的 射 影 ， 若 ，求证： ． 证明：连结 ， ∵ ，且 ∴ （三垂线定理逆定理） 同理 ，∴ 为 的垂心， ∴ ， 又∵ ， ∴ （三垂线定理） 【练习】： 所在平面外的一点 在平面 内的射影 为 的垂心， 求证：点 在 内的射影 是 的垂心． 例 2．已知：四面体 中， 是锐角三角形， 是点 在面 上的射影，求证： 不可能是 的垂心． 证明：假设 是 的垂心，连结 ，则 ， ∵ ∴ 是 在平面 内的射影， ∴ （三垂线定理） 又∵ ， 是 在平面 内的射影 ∴ （三垂线定理的逆定理） ∴ 是直角三角形，此与“ 是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以， 不可能是 的垂心． 例 3．已知：如图，在正方体 中， 是 的中点， 是 的交点，求证： ． 证明： ， 是 在面 上的射影 又∵ ，∴ 1AC 1 1 1BD AC⊥ 1 1BD B C⊥ A BCD∆ O A BCD ,AC BD AD BC⊥ ⊥ AB CD⊥ , ,OB OC OD AO BCD⊥ 平面 AC BD⊥ BD OC⊥ OD BC⊥ O ABC∆ OB CD⊥ AO BCD⊥ 平面 AB CD⊥ BCD∆ A BCD O BCD∆ B ACD∆ P ACD∆ S ABC− ,SA ABC ABC⊥ ∆平面 H A SBC H SBC∆ H SBC∆ BH BH SC⊥ BH SBC⊥ 平面 BH AB SBC SC AB⊥ SA ABC⊥ 平面 AC SC ABC AB AC⊥ ABC∆ ABC∆ H SBC∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC F ,AC BD 1A F BED⊥ 平面 1AA ABCD⊥ 平面 AF 1A F ABCD AC BD⊥ 1A F BD⊥ D C BA D1 C 1 B1A1 O D C B A H C S B A GF E D C BA D1 C 1 B1A1取 中点 ，连结 ， ∵ ， ∴ 为 在面 上的射影， 又∵正方形 中， 分别为 的中点，∴ ， ∴ （三垂线定理）又∵ ，∴ ． 五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用． 六、作业： 1．已知 是 所在平面外一点， 两两垂直， 是 的垂心， 求证： 平面 ． 2．已知 是 所在平面外一点， 两两垂直， 求证： 在平面 内的射影 是 的垂心． 3．如图， 是正三角形， 是 的中点， 平面 ，四边形 是菱形， 求证： ． 4．如图，过直角三角形 的直角顶点 作线段 平面 ， 求证： 在平面 内的射影 是 的垂心． 课后记： BC G 1,FG B G 1 1 1 1 1 1,A B BCC B FG BCC B⊥ ⊥平面 平面 ,B G 1A F 1 1BCC B 1 1BCC B ,E G 1,CC BC 1BE B G⊥ 1A F BE⊥ EB BD B= 1A F BED⊥ 平面 P ABC∆ , ,PA PB PC H ABC∆ PH ⊥ ABC P ABC∆ , ,PA PB PC P ABC O ABC∆ ABC∆ F BC DF ⊥ ABC ACDE AD BE⊥ BPC P PA ⊥ BPC P ABC H ABC∆ H P C B A A B C E D F