.3.1.1直线的倾斜角和斜率（1）教案 新人教A版必修2.doc

课题：2.3.1.1 直线的倾斜角和斜率(1) 课 型：新授课 教学目标: 知识与技能 1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性. 4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观 1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探 索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． 2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树 立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： 1.直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确 定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么 联系呢? (1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜 程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直 线的倾斜程度. 直线 a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定 一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角α. 2.直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,也就是 P cba Y XO k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 3.直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜 率公式的推导.(略) 斜率公式： 对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与 x 轴垂直； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子 与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 4．例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝 角还是锐角. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.50, 所以它的倾斜角α是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定; 或者 k=tanα=1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的 一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a.同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) 5．练习: P86 1. 2. 3. 4. 课堂小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式. 课后作业: P89 习题 3.1 1. 2. 3.4课后记: