递归数列的基本问题

【§6.6　递归数列的基本问题】 例1：已知数列{an}满足下列关系：a1=1, an+1=an+ ，求an。 例2：设数列{an}满足关系式：a1=－1, an=       试证：（1）bn=lg（an+9）是等差数列            （2）试求数列{an}的通项公式。            （3）若数列{an}的第m项的值 ，试求m 例3：在数列{an}中，a1=1, a2=3，且an+1=4an－3an－1，求an。 例4：数列{an}和{bn}适合下列关系式an=5an－1－6bn－1       b­n=3an－1－4bn－1，且a1=a, b1=b，求通项an和bn。   【备用题】 在数列{an}中，，a1=1, a2=2，三个相邻项an, an+1, an+2，当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列。 （1）求an     （2）求a1到a2n的和   【基础训练】 1．已知数列{an}中，a1=14, an+1=an－ ,则使an·an+11, n∈N*）且x1=f（2），则x10的值：          （    ） A．             B．           C ．         D． 3．数列{an}的前n项之和为Sn，满足log3Sn=n+ ，则数列{an}                   （    ） A．是公比为 的等比数列       B．从第2项起，是公比为3的等比数列 C．是公比为3的等比数列        D．从第2项起，是公比为 的等比数列 4．已知数列{Sn}中，s1=1, ，则数列{Sn}一定是：                   （    ） A．仅为等差数列               B．仅为等比数列     C．既非等差，又非等比数列     D．既是等差，又是等比数列 5．在数列{an}中，a1=2, an+1=an+2n（n∈N*），则a100=          。   【拓展练习】 1．下面四个命题： （1）若数列{an}是等差数列，则数列{C }（C>0）为等比数列； （2）若各项为正数的数列{an}为等比数列，则数列{logcan}（C>0且≠1）为等差数列； （3）常数列既是等差数列，又是等比数列； （4）两个正数的等差中项不小于它们的等比中项，其中，真命题的个数是：         （    ） A．1个       B．2个       C．3个      D．4个 2．已知函数f（x）=3·2x－1，则当x∈N时，数列{f（n+1）－f（n）}                   （    ） A．是等比数列     B．是等差数列    C．从第2项起是等比数列   D．是常数列 3．在数列{an}中，a1=2，a1=2, an+1=an+n－1，则an=            。 4．在数列{an}中， ，则an=           。 5．等差数列{an}中，a3=2, a8=12，数列{bn}满足条件b1=4, an+bn=bn－1，那么数列{bn}的通项公式bn=           。 6．数列{an}中，a1=2, ，则an=            。 7．设数列{an}中，a1=5, an=Sn－1（n≥2），则an=   8．欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有几种不同的走法      。 9．学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A．B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，若用An, Bn表示在第n个星期一分别选A．B的人数。 （1）试用An, Bn, 表示An+1； （2）证明An+1=0.5An+300； （3）若证A1=a， 则An=（0.5）n－1（a－600）+600  （n≥1） 10．数列的前n项的和Sn，满足关系式an= （n≥2且a1=3），求an. 11．已知x1>0，x1≠1且xn+1= （n=1,2, …）    试证：xnxn+1（n=1,2,…） 12．设数列{an}的首项a1=1, 前n项和Sn满足关系式。3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（其中t>0, n=2,3,4,…） （1）求证：数列{an}是等比数列。 （2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1, bn= （n=2,3,4…）求数列{bn}的通项公式。 （3）求和Sn=b1b2－b2b3+b3b4－…+（－1）n－1bnbn+1 13．（2000年广东高考题）设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a －na +an+1an=0 （n=1,2,3,……），则它的通项公式是an=         。