上海市2010年普通高等学校春季招生考试

上海市2010年普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 考生注意： 1、答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。 2、本试卷共有23道试题，满分150分，考生时间150分钟。 一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1、函数 的最小正周期T=_________________________。 2、已知函数 是奇函数，则实数a=______________。 3、计算： =_______________（ 为虚数单位）。 4、已知集合 ，则 =____________。 5、若椭圆 上一点P到焦点 的距离为6，则点P到另一个焦点 的距离是_________。 6、某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是79，则在中年人中的抽样人数应该是_________。 开始 否 结束 输出r 是 7、已知双曲线C经过点（1，1），它的一条渐近线方程为 。则双曲线C的标准方程是_______________。 8、在 的二项展开式中，常数项是___________。 9、连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为____________（结果用数值表示）。 10、各棱长为1的正四棱锥的体积V=______________。 11、方程 的解集为_______________。 12、根据所示的程序框图（其中 表示不大于x的最大整数），输出r=__________。 40cm 50cm 80cm 13、在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=______cm2。 14、设n阶方阵 ， 任取 中的一个元素，记为 ；划去 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成 阶方阵 ，任取 中的一个元素，记为 ；划去 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为 ，记 ，则 ，则 =______________。 二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15、若空间三条直线a、b、c满足 ，则直线a与c                 【答】（     ） （A）一定平行；                     （B）一定相交； （C）一定是异面直线；               （D）平行、相交、是异面直线都有可能 16、已知 ，记 ，则M与N的大小关系是 【答】（     ） （A） ；      （B） ；      （C） ；      （D）不确定 17、已知抛物线 与直线 ，“ ”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的                                                                          【答】（     ） （A）充分不必要条件；               （B）必要不充分条件； （C）充要条件；                     （D）既不充分也不必要条件 18、已知函数 的图像关于点P对称，则点P的坐标是             【答】（     ） （A） ；       （B） ；       （C） ；       （D）（0，0）    三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19、（本题满分12分） 已知 ，求 的值。      20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数 ，且 （1）若函数 的反函数是其本身，求a的值； （2）当 时，求函数 的最大值。       O 大连 上海 北极 南极 赤道 里斯本 21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知地球半径约为6371千米。上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°。 （1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？ （2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）      22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 在平面上，给定非零向量 ，对任意向量 ，定义 。 （1）若 ，求 ； （2）若 ，证明：若位置向量 的终点在直线 上，则位置向量 的终点也在一条直线上； （3）已知存在单位向量 ，当位置向量 的终点在抛物线 上时，位置向量 终点总在抛物线 上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量 满足什么关系？    23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。 已知首项为 的数列 满足 （ 为常数）。 （1）若对于任意的 ，有 对于任意的 都成立，求 的值； （2）当 时，若 ，数列 是递增数列还是递减数列？请说明理由； （3）当 确定后，数列 由其首项 确定，当 时，通过对数列 的探究，写出“ 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。 说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。               2010年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷 参考答案及评分标准 一、填空题： 1、 ；         2、0；          3、 ；           4、 ； 5、4； 6、80；         7、 ；   8、60；         9、 ；            10、 ； 11、 ；    12、 ；            13、2600 ；            14、1 二、选择题：DBBC 三、解答题： 19、 ；         20、（1） ；    （2）在x=0处取得最大值 。 21、（1）1.2小时；   （2）约为10009千米。 22、 ；（2） 的终点在直线 上； （3） ，曲线C和C′关于直线 对称， 的方向向量 。 由 得 ，直线l与向量 垂直。 23、（1） ；（2）数列 是递减数列；……………………………………10′ （3）①数列 满足 ，若 ，则数列 是有穷数列；………12′ ②数列 满足 ，若，则数列 是有穷数列；……14′ ③数列 满足 ，则数列 是有穷数列的充要条件是存在 ，使得 ；……16′ ④数列 满足 ，则数列 是有穷数列且项数为m的充要条件是 ……1