高考物理重点难点24  物理解题中的数学应用

高考物理重点难点24  物理解题中的数学应用 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具.中学物理教学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求. ●难点磁场 1.(1998年上海)用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为m、长为L的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v０击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离.在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k倍(k＞1). (1)若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力. (2)若第一次敲击使钉进入木板深度为L１，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板?并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，L１必须满足的条件. 2.(1999年全国)图24-1中，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外.O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为＋ｑ、质量为m、速率为v的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用. 图24-1 (1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔. ●案例探究 ［例1］（★★★★）一弹性小球自ｈ０＝５ m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的7/9，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间. 命题意图：考查综合分析、归纳推理能力.B级要求. 错解分析：考生不能通过对开始的几个重复的物理过程的分析，归纳出位移和时间变化的通项公式致使无法对数列求和得出答案. 解题方法与技巧：（数列法） 设小球第一次落地时速度为v０，则： v０＝ ＝１０ m/s 那么第二，第三，……，第n＋１次落地速度分别为： v１＝ v０，v２＝（ ）２v０， …，vn＝（ ）nv０ 小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为ｈ０＝５ m，小球第一次与地相碰 到第二次与地相碰经过的路程是： L１＝２× ＝２× v０２＝１０×（ )２ 小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L２， L２＝２× ＝１０×（ ）４ 由数学归纳法可知，小球第n次到第n＋１次与地相碰经过的路程为Ln： Ln＝１０×（ ）２n 故整个过程总路程ｓ为： ｓ＝ｈ+（L１＋L２＋…＋Ln） ＝５＋10［（ ）２＋（ ）４＋…＋（ ）２n］ 可以看出括号内的和为无穷等比数列的和.由等比无穷递减数列公式Sn＝ 得： ｓ＝５＋10× 　m＝20.3 m 小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间： t０＝ ＝１ｓ 小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间为： t１＝２× ＝２× ｓ 同理可得：tn＝２×（ ）n　ｓ t＝t０＋t１＋t２＋…＋tn ＝１＋２×［（ ）＋（ ）２＋…＋（ ）n］ｓ ＝［１＋２× ］ｓ＝（１＋７）ｓ＝８ｓ. ［例2］（★★★★）如图24-2所示，ｙ轴右方向有方向垂直于纸面的匀强磁场，一个质量为m，电量为ｑ的质子以速度v水平向右通过ｘ轴上P点，最后从ｙ轴上的M点射出磁场.已知M点到原点O的距离为H，质子射出磁场时速度方向与ｙ轴负方向夹角θ＝ 图24-2 ３０°，求： (1)磁感应强度大小和方向. (2)适当时候，在ｙ轴右方再加一个匀强电场就可以使质子最终能沿ｙ轴正方向做匀速直线运动.从质子经过P点开始计时，再经多长时间加这个匀强电场?电场强度多大?方向如何? 命题意图：依质子在复合场中运动为背景，设置命题，考查综合运用数学知识解决物理问题的能力.B级要求. 错解分析：考生无法运用几何关系来确定带电粒子匀速圆周运动的圆心位置，进而没能据几何关系求出半径，无法画出所求示意图，致使无法对整个物理过程作深刻的分析求解. 解题方法与技巧：(1)先找圆心.过M点和P点的切线作垂线，其交点即为粒子做匀速 圆周运动的圆心Ｏ′，则由几何关系，设粒子运动半径为ｒ，有： ｒ＋ｒcos６０°＝Ｈ，得ｒ＝ Ｈ 又由ｒ＝ ，B＝ ＝ ，方向垂直于纸面向里. (2)沿ｙ轴正方向做匀速直线运动，说明v０应沿＋ｙ方向，由左手定则，F洛水平向左(沿－ｘ方向).则ｑＥ应水平向右(沿＋ｘ方向).这样ｙ方向不受力，粒子做匀速直线运动，满足Ｅ＝Bv，所以应从Ｐ点经 Ｔ时加这个匀强电场，其场强E：周期Ｔ＝ ＝  经t＝ Ｔ＝    v＝   Ｅ＝Bv＝ ●锦囊妙计 一、高考命题特点 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程. 二、数学知识与方法 物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等. 1.方程法 物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的. 列方程组解题的步骤 (1)弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型. (2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架. (3)据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体. (4)对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验. 2.比例法 比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化.应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立.同时要注意以下几点： (1)比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个.讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例. (2)比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R＝ 认定为电阻与电压成正比). (3)比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立.(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝ 中，P与R成反比，因为R变化的同时，U随之变化而并非常量) 3.数列法 凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为： (1)逐个分析开始的几个物理过程 (2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题；③无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用. 4.圆的知识应用 与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种： (1)依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径. (2)依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图24-3. 由BＥ２＝CＥ×ＥＤ＝CE×（２R－CＥ） 得R＝ ＋ 也可用勾股定理得到： 图24-3 ＯB２＝（ＯC－CＥ）２＋ＥB２，R2＝（R－CＥ）２＋ＥB２ 得，R＝ ＋ . 此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中. ●歼灭难点训练 图24-4 1.（★★★）如图24-4所示，三块完全相同的木块，紧挨着固定在水平地面上，一颗水平飞来的子弹穿过三块木块后速度恰好恒定，子弹所受阻力恒定.若以t１、t２、t３分别表示穿过第1、2、3块木块所用的时间，则 t１∶t２∶t３的比值为 A.１∶２∶３                                                                 B. ∶ ∶1 C.（ － ）∶（ －１）∶１                            D.３∶２∶１ 2.（★★★★）如图24-5所示，两光滑斜面的总长度相等，高度ｈ也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则有 A.两球同时落地      图24-5 B.ｂ球先落地 C.两球落地时速率相等   D.ａ球先落地   3.（★★★★）(比例法)如图24-6所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止.现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是 图24-6 A.N变大，T变小                            B.N变小，T变大 C.N变小，T先变小后变大                               D.N不变，T变小 4.（★★★★）当交叉路口的绿信号灯开亮时，一辆轿车以2 m/s2的恒定加速度由静止开行，同一时刻，有一辆货车以10 m/s2的恒定速度从它旁边开过（不计车身长）.求轿车追上货车前何时两车相距最远？ 图24-7 5.（★★★★★）如图24-7所示，小球从长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，物体一共通过的路程. 6.（★★★★★）如图24-8所示，离子枪射出方向为长度ｄ的平行金属板MN和PQ之间的中线，离子枪距金属板水平距离为ｄ，整个装置处在磁感应强度为B的方向向里的匀强磁场之中，初速为零的负离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射入磁场.(不考虑重力作用)求：离子荷质比 （ｑ、m分别是离子的电量与质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上? 图24-8                                                 参考答案 ［难点磁场］ 1.（1）  (2) ,L1＞(1- )L 2.(1)R=  (2)Δt= arccos( ) ［歼灭难点训练］ 1.C 2.此题根据机械能守恒定律，判断选项C是正确的比较容易， 但其他三项用公式计算方法来求解是比较复杂的.以下用图象法来讨论. 图24′-1 如图24′-1所示，因为a、ｂ两球运动的路程相同，所以，两条运动折线与横坐标所围的面积相等.末速度的大小相同，为 ，两条折线的顶点一样高.加速度开始ｂ比a大，在转折点时ｂ比a大，最后两个小球的速度大小要相等，所以，ｂ球的折线始终在a球折线的上面，要使两个折线所围的面积相等，必须tｂ＜ta，得答案B. 3.D 4.5 s 5.物体在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为a.物体第一次碰撞前后速度及反弹路程分别为： v１＝     v1′＝ v１      L１＝ ＝（ ）２L 物体第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为： v２＝ ＝        v2′＝ v２. L２＝ ＝（ ）４L.物体第n次碰撞前后的速度及反弹路程分别为vn＝ ＝（ ）n－１ vn′＝ vn Ln′＝ ＝（ ）2nL 物体n＋１次碰撞挡板时所经历的总路程： ｓn＋１＝L＋２L１＋２L２＋…＋２Ln ＝L＋２[( )2L+( )4L+…＋（ ）2nL] ＝L＋２