2010年高考数学新题型附解析选编（七）

2010年高考数学新题型附解析选编（七）   1、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上高考资源网           和           。 答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又 =  ≥ ，等于当且仅当 ，且4x＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。 2、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若 （其中 、 分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）.在平面斜坐标系xoy中，若 ，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为           .  3、定义运算符号：“ ”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作 ， ，其中ai为数列 中的第i项. ①若 ，则T4=          ；105； ②若                  .  4、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.   （1）求二面角B1-MN-B的正切值； （2）证明：PB⊥平面B1MN； （3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件. 符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一.  答案： 5、为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为   90  万只．   各养鸡场注射了疫苗的鸡的数量平均数（只） 均   鸡（万只） 月份 月份 养鸡场（个数） 9 20 10 50 11 100              6、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质： （1）斜边的中线长等于斜边边长的一半； （2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； （3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.     写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：              . 答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一； （2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方； （3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.  7、定义：若存在常数 ，使得对定义域 内的任意两个 ，均有 成立，则称函数 在定义域 上高考资源网满足利普希茨条件。若函数 满足利普希茨条件，则常数 的最小值为  。  8、已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数） （1）求函数y=f(x)的解析式； （2）利用函数y=f(x)构造一个数列{xn}，方法如下： 对于给定的定义域中的x1，令x2= f(x1)，x3= f(x2)，…，xn= f(xn-1)，… 在上述构造过程中，如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止. ①     如果可以用上高考资源网述方法构造出一个常数列{xn}，求a的取值范围； ②     如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上高考资源网述方法构造出一个无穷数列{xn}，求a实数的值. ② ①解：（1）令   则         ①×②，并整理，得 y= ，         ∴y=f(x) = ， （x≠a）.                   ……………………………4分 （2）①根据题意，只需当x≠a时，方程f(x) =x有解， 亦即方程  x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.          将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a.          由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1， 即实数a的取值范围是 .             …………………………9分 ②根据题意， =a在R中无解， 亦即当x≠a时，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解. 由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解， 所以对于任意x∈R，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解， ∴ a= -1即为所求a的值.      ……………………………………14分  9、已知x>0，由不等式 ≥2· =2， = ≥ =3, …，启发我们可以得出推广结论： ≥n+1 (n∈N*)，则a=_________ nn ______．  10、已知存在实数 （其中 ）使得函数 是奇函数，且在 上高考资源网是增函数。 （1）试用观察法猜出两组 与 的值，并验证其符合题意； （2）求出所有符合题意的 与 的值。 解：（1）猜想： 或 ；--------------------------------4分 由 知 ，而 为奇函数且在 上高考资源网是增函数。-------------------------------------------------------------------------6分 由 知 ，而 为奇函数且在 上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8分 （2）由 为奇函数，有 所以 ，又 ， 解得 。-----------------------------------------------------------------------------10分 当 时， 为奇函数，由于 在 上高考资源网是增函数，所以 ，由 ，又 在 上高考资源网是增函数，故有 ，且 或 ，故 。----------------------------------------------------------------------------12分 当 时， 为奇函数，由于 在 上高考资源网是增函数，所以 ，由 ，又 在 上高考资源网是增函数，故有 ，且 或2，故    ------------------------------------------------------------14分 所以所有符合题意的 与 的值为： 或 --------------------------------------16分