2010年高考数学新题型附解析选编（四）

2010年高考数学新题型附解析选编（四） 1、已知 之间满足   （1）方程 表示的曲线经过一点 ，求b的值 （2）动点(x,y)在曲线 (b>0)上高考资源网变化，求x22y的最大值； （3）由 能否确定一个函数关系式 ，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使 之间建立函数关系，并求出解析式。 解：（1）                       （4分） （2）根据 得                  （5分）            （7分）                                                                  （10分） （2）不能                                                 （11分）    如再加条件 就可使 之间建立函数关系            （12分） 解析式                                （14分） （不唯一，也可其它答案）  2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 。已知一个铁钉受击 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ，请从这个实事中提炼出一个不等式组是   。  3、已知 ，记 ，（其中 ），例如：     。设 ，且满足 ，则有序数组 是  。   4、（12′=9′+3′）（理）设 表示幂函数 在 上高考资源网是增函数的 的集合； 表示不等式  对任意 恒成立的 的集合。（1）求 ；（2）试写出一个解集为 的不等式。 （文）设 表示幂函数 在 上高考资源网是增函数的 的集合； 表示不等式 对任意 恒成立的 的集合。（1）求 ；（2）试写出一个解集为 的不等式。 解：（理）（1）∵幂函数 在 上高考资源网是增函数，∴ ，即 ，             又不等式 对任意 恒成立，∴ ，即 ，             ∴  。         （2）一个解集为 的不等式可以是  。    （文）（1）∵幂函数 在 上高考资源网是增函数，∴ ，即 ，                  又不等式 对任意 恒成立，∴ ，即 ，              ∴  。         （2）一个解集为 的不等式可以是  。  5、（理）已知 为正常数。    （1）可以证明：定理“若 、 ，则 （当且仅当 时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；    （2）若 在 上高考资源网恒成立，且函数 的最大值大于 ，求实数 的取值范围，并由此猜测 的单调性（无需证明）；    （3）对满足（2）的条件的一个常数 ，设 时， 取得最大值。试构造一个定义在 上高考资源网的函数 ，使当 时， ，当 时， 取得最大值的自变量的值构成以 为首项的等差数列。 解：（1）若 、 、 ，则 （当且仅当 时取等号）。    （2） 在 上高考资源网恒成立，即 在 上高考资源网恒成立， ∵ ，∴ ，即 ， 又∵ ∴ ，即 时， ， 又∵ ，∴ 。          综上高考资源网，得  。   易知， 是奇函数，∵ 时，函数有最大值，∴ 时，函数有最小值。 故猜测： 时， 单调递减； 时， 单调递增。 （3）依题意，只需构造以 为周期的周期函数即可。     如对 ， ，此时 ，    即  。 （文）已知函数 ， ， （Ⅰ）当 时，若 在 上高考资源网单调递增，求 的取值范围； （Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对 ：当 是整数时，存在 ，使得 是 的最大值， 是 的最小值； （Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对 ，试构造一个定义在 ，且 上高考资源网的函数 ，使当 时， ，当 时， 取得最大值的自变量的值构成以 为首项的等差数列。 解：（Ⅰ）当 时， ， 若 ， ，则 在 上高考资源网单调递减，不符题意。 故 ，要使 在 上高考资源网单调递增，必须满足  ，∴  。 （Ⅱ）若 ， ，则 无最大值，故 ，∴ 为二次函数， 要使 有最大值，必须满足 ，即 且 ， 此时， 时， 有最大值。 又 取最小值时， ，依题意，有 ，则 ， ∵ 且 ，∴ ，得 ，此时 或 。 ∴满足条件的实数对 是 。 （Ⅲ）当实数对 是 时， 依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对 ， ， 此时， ， 故 。  6、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义 为数列{an}的“凯森和”，     如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列      1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和” =   991   。   7、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：     已知 ， ，求证 ，     证明：构造函数         因为对一切xÎR，恒有 ≥0，所以 ≤0,     从而得 ，    （1）若 ， ，请写出上高考资源网述结论的推广式；    （2）参考上高考资源网述解法，对你推广的结论加以证明。 解：（1）若 ， ， 求证：  (4¢) （2）证明：构造函数   (6¢)                           (9¢)   (11¢)                因为对一切xÎR，都有 ≥0，所以△= ≤0,                从而证得： .  (14¢)  8、已知两个向量 ，   . （1）若t=1且 ，求实数x的值； （2）对tÎR写出函数 具备的性质. 解：（1）由已知得                                 ……2分                                                  ……4分 解得 ，或                                                  ……6分 （2）                                         ……8分 具备的性质： ①偶函数； ②当 即 时， 取得最小值 （写出值域为 也可）； ③单调性：在 上高考资源网递减， 上递增；由对称性，在 上递增，在 递减                                                     ……14分 说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（ ， ）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分    9、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=        n .2n–1           。(不必给出证明)    10、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上高考资源网异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆 有 。类似地，对于双曲线 有 =          。