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2012最新压轴题冲刺强化训练1
1.（如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA边相切于点C，
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）PO的延长线交⊙O于E，EA⊥PA于A.设PE交⊙O于另一点G，AE交⊙O于点F，连接FG，若⊙O的半径是3，＝.
①求弦CE的长；②求的值.
1.(1)证明：连接OC，过点O作OD⊥PB于点D，
∵PA切⊙O于点C, ∴OC⊥PA
∵PO平分∠BPA,
∴OC=OD
∴PB是⊙O的切线； ………………………3分
（2）①连接CG，
∵EA⊥PA于A∴∠APC+∠ECA=90°
∵OC⊥PA, ∴∠OCE+∠EAC=90°
∴∠OCE=∠CEA
∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC
∴∠AEC=∠CEG
∵EG为⊙O的直径，∴∠ECG=90°
∵tan∠AEC= , ∴tan∠CEG= ………………4分
设CG=，则CE=，∵⊙O的半径为3，∴直径EG=6
∴
解之得，（不合题意，舍去）
∴ ………………………6分
②∵OC⊥PA, ∴∠OCG+∠PCG=90°
∵OC=OE, ∴∠OCG=∠OGC
而∠ECG=90°，∴∠OGC+CEG=90°
∴∠PCG=∠CEG
∵∠EPC=∠CPG
∴△PCG∽△PEC ∴ ………………………8分
设PG=则PC=，在Rt△POC中，OG=OC=3
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用勾股定理易得
∵∠GFE=∠PAE=90°∴GF∥PA
∴△EGF∽△EPA
∴ ………………………10分
2.如图，正方形ABCO的边长为4，D为OC边的中点，将△DCB沿直线BD对折，C点落在M处，BM的延长线交OA于点E,OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上.
（1）求线段OE的长；
（2）求经过D,E两点，对称轴为直线x=2的抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使四边形P、E、D、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2.（1）解：∵四边形ABCO为正方形，D为OC的中点，
∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2,
∠BCO=COA=∠OAB=90°
∵△BCD与△BMD关于BD对称，
∴△BCD≌△BMD
∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2
∠CDB=∠MDB
∵DE=DE
∴Rt△DOE≌Rt△DME
∴∠ODE=∠MDE
∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°
而∠BCD+∠CBD=90°
∴∠ODE=∠CBD
∴Rt△CBD∽Rt△ODE
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∴
∴ ………………………4分
(2)有（1）知，D(0,2),E(1,0),设过D,E两点，对称轴为直线的抛物线的解析式为：，得
解之得
∴ ………………………8分
（3）存在点P，使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形，分三种情况讨论：
①当PE∥BD，PE≠BD时，四边形PEDB是梯形.
设直线PE交轴于点F，易证Rt△DEO∽Rt△EOF
可得，OF=,∴F(0，)
过E,F两点，用待定系数法可求直线PE 的解析式为：
当，此时P点的坐标为（2，） ……………10分
②当PD∥BE,PD≠BE时，四边形PDEB为梯形.
设直线PD交轴于点G
∵PD∥DE，∴∠GDE=∠DEB
∵∠DEG=∠DEB ∴∠GDE=∠DEG
∴GD=GE,设OG=，在Rt△DGO中，
,OD=2，OE=1，
易求 ，∴G(-)
过D,G两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:
当，此时点P的坐标是（2，）；…………………11分
③当PB∥DE,PB≠DE时，四边形PDEB为梯形.
设直线PD交轴于点H,
∵PB∥DE，∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,
∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,
∴EB=EH,
在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，
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∴BE=5=EH, ∴OH=OE+EH=1+5=6
∴H(6,0)
过B,H两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:
当，此时点P的坐标是（2，8）；………………12分
综上所述，符合条件的点P有三个，
其坐标分别为（2，），（2，），（2，8）. ……………………13分
3、如图，已知直线y=x+8交x轴于A点，交y轴于B点，过A、0两点的抛物线y=ax2+bx（a＜O）的顶点C在直线AB上，以C为圆心，CA的长为半径作⊙C．
（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式；（2）将⊙C沿x轴翻折后，
得到⊙C
，求证：直线AC是⊙C′的切线；
（3）若M点是⊙C的优弧 （不与0、A重合）上的一个动点，P是抛物线上的点，且∠POA=∠AM0，求满足条件的P点的坐标．
3 解 （1）如图，由直线y=x+8图象上点的坐标特征可知，A（-8，0），B（0，8）
∵抛物线过A、O两点
∴抛物线的对称点为x=-4
又∵抛物线的对称点在直线AB上，
∴当x=-4时，y=4
∴抛物线的顶点C（-4，4）
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，
解得
∴抛物线的解析式为y=- x2-2x； （3分）
（2）连接CC′、C′A
∵C、C′关于x轴对称，设CC′交x轴于D，则CD⊥x轴，且CD=4，AD=4
△ACD为等腰直角三角形
∴△AC′D也为等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC过⊙C′的半径C′A的外端点A
∴AC是⊙C′的切线； （6分）
（3）∵M点是⊙O的优弧 上的一点，
∴∠AMO=∠ABO=45°，
∴∠POA=∠AMO=45°
当P点在x轴上方的抛物线上时，
设P（x，y），则y=-x，
又∵y=- x2-2x
∴
解得
此时P点坐标为（-4，4）当P点在x轴下方的抛物线时，设P（x，y）
则y=x，又∵y=- -2x
∴
解得
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此时P点的坐标为（-12，-12）
综上所述，满足条件的P点坐标为（-4，4）或（-12，-12） （10分）
4．已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．
(1) 求证：CD与⊙O相切；
(2) 若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长．
4．解
（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N． ……………………………1分
∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC． …………………………………… 2分
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON． ………………………4分
∴CD与⊙O相切 ………………………………………………………5分
（2）设正方形ABCD的边长为a． ………………………………………………6分
可证得△COM∽△CAB
∴，∴ …………………………………8分
解得 a =
∴正方形ABCD的边长为． …………………………10分
5．直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且），得到Rt△.
（1）如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥
交边于点E，联结BE.
① 当时，设AD=，BE=，求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围；
② 当时，求AD的长.
备用图
备用图
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5．解
（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴． ………………………1分
由旋转可知：，，
∴△为等边三角形．……………2分
∴＝． ……………3分
（2）① 当时，点D在AB边上（如图）.
∵ DE∥， ∴ .
由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.
∴ ∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ………………………………………………6分
∴.∵∠A=30° ∴.[来源:学&科&网]
∴（0﹤﹤2） ………………………………………………8分
②当时，点D在AB边上
AD=x，，∠DBE=90°.
此时，.
当S =时，.整理，得 .
解得 ，即AD=1. ………………………………………………10分
当时，点D在AB的延长线上（如图）.
仍设AD=x，则，∠DBE=90°.
.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，（负值，舍去）.
即. ………………………………………………12分
综上所述：AD=1或.
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6．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（第22题）
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
6．解：（1）由，得，
，
∴抛物线C1的顶点坐标为A（），……………………………………2分
∴线段AH的中点E为（），由 ，解得
∴…………………………………………………………4分
（2）设直线AB的解析式为，将A，B坐标代入得：
，解得
∴ …………………………………………………………………5分
∵抛物线C2的对称轴为，
将代入，得
∴P点坐标为，…………6分
①依题意P′点与P点关于轴对称，
∴P′点的坐标为 ，……………7分
将它代入C1的解析式，得 ，
化简得：．
解得（不合题意，舍去）， ．……………………………………………………………………………8分
∴C1：，C2：．…………………………9分
②设在抛物线C1上存在点Q，使得B、D、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，
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＝
ⅰ）当Q点在轴右侧时，则必有BD∥PQ，
当Q点在P点下方时，将P点向下平移2个单位，得Q点坐标为，
将它代入C1的解析式，得 ，
化简得：。
解得（不合题意，舍去），．
∴此时的Q点坐标为；……………………………………………………11分
当Q点在P点上方时，将P点向上平移2个单位，得Q点坐标为，
将它代入C1的解析式，得 ，
化简得：．
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）．
∴此时的Q点不存在；……………………………………………………………12分
ⅱ）当Q点在轴左侧时，
∵OB=OD， ∴必有OP=OQ，
∴Q点与P点关于原点对称，
∴Q点坐标为，
将它代入C1的解析式，得 ，
化简得：．
解得（不合题意，舍去），．
∴此时的Q点坐标为；
综上，在抛物线C1上存在点Q或Q，使得B、D、P、Q四点组
成的四边形是平行四边形．…………………………………………………………14分
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=8，DC=4，∠ABC=90°，∠A=60°．
M点、N点是梯形边上的动点，M、N之间的线段长或折线长始终为2，它们同时开始运动，同时停止运动．N点从A点开始先沿AD方向，再沿DC方向，到达C点时停止运动．过M点作MH⊥AB，垂足为H，与BN交于O点，连接HN．设A、N
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之间的线段长或折线长为．解答下列问题：
（1）当△AHN为等边三角形时，求的值；
（2）当MN为线段时，并且△OHB与以O、M、N三点组成的三角形相似，求的值或的取值范围；
（3）设△AHN的面积为S，求S关于的函数解析式，并写出的取值范围．
7．解：（1）∵∠A=60°，
∴当AN=AH时，△AHN为等边三角形.…………1分
由已知在Rt△MAH中，∠A=60°，
则∠AMH=30°，
∴AH=AM =．……………………………2分
由，解得：x=2，
∴当x=2时，△AHN为等边三角形；……………3分
（2）分两种情况讨论：
①当N、M两点都在AD上时，如图1，
过D点作DE⊥AB交AB于E，
∴AE==8×=4，BE=CD=4，
∴AB=8，…………………………………………4分
∵∠MON=∠BOH，
∴当∠MNO=∠BHO=90°时，△OMN∽△OBH，
此时AN==8×=4，即x=4；………………………………5分
②当N、M两点都在DC上时，如图2，
∵AB∥CD，
∴在这种情况下，不论x取何值，△OMN与△OHB都相似；
综上所述：当x=4或8≤x
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