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2012最新压轴题冲刺强化训练4
1．在中，，，，⊙的半径长为1，⊙交边 于点，点是边上的动点．
（1）如图8，将⊙绕点旋转得到⊙，请判断⊙与直线的位置关系；
（4分）
（2）如图9，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （5分）
（3）如图10，点是边上的动点，如果以为半径的⊙和以为半径的
⊙外切，设，，求关于的函数关系式及定义域．（5分）．
B
O
A
C
P
图9
B
O
A
C
P
图8
图10
O
N
B
A
C
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2．如图，⊙O的直径BC＝8，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC＝4，A是线段BO上一动点，连结AD交⊙O于点G，过点A作AF⊥AD交直线m于点F，交⊙O于点H，连结GH交BC于点E．
(1)当A是BO的中点时，求AF的长；
(2)若∠AGH＝∠AFD，
①GE与EH相等吗？请说明理由；
②求△AGH的面积．
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3．（本题满分14分）如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为－1,直线l y=－X－与坐标轴分别交于A,C两点,点B的坐标为(4,1) ,⊙B与X轴相切于点M.
(1) 求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2) ⊙B以每秒1个单位长度的速度沿X轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针匀速旋转.当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切.问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?
(3)如图2.过A,O,C三点作⊙O1 ,点E是劣弧上一点,连接EC,EA.EO,当点E在劣弧上运动时(不与A,O两点重合),的值是否发生变化?如果不变,求其值,如果变化,说明理由.
.
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4.如图1，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．[www%.zzst*e@p.co#m~]
（1）求∠BAC的度数。
（2）如图2，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
O
E
C
D
B
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长。[来源:中^%&教网@#]
[中&国教育@出~版*^网]
图1
图2
5、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置。
(1)求C1点的坐标；
(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
(4)抛物线上是否存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
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[6、如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．[中*国
点A是切点．B是⊙O上一点．且PA = PB，连接AO、BO、PO、AB，
并延长BO与切线PA相交于点C．
（1）求证：PB是⊙O的切线 ；[www.%z@&zste^#p.com]
（2）求证： AC · PC= OC · BC ；
（3）设∠AOC =，若cos=，OC = 15 ，求AB的长。
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ww*st%ep.com#]
7.已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交⊙O于点，联结．
（1）若，求弦的长．
（2）若点在上时，设，，求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值．[中&国教育出版@*#%网]
[来源:#^中国教%育出~*版网]
[来#源%:^中~教网&]
[来@%源^:中~教#网]
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[ww#w~.%zzs@te^p.com] 8、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）[来源%:@中*^~教网]
如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点．
（1）求证：≌；[来%*源:中^@教网&]
（2）如果，，，求的长．
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径．[www.zz~*ste&^p.@com]
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10．已知：关于的方程有两个不相等实数根．
（1） 用含的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
11．y
A
B
O
C
-1
1
x
第11题图
P
D
如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。
（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积比；
（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。
若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。
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2012 压 轴 汇 编1 答 案
1．解：（1）在Rt△ABC中，，∵，
∴， ………………（1分）
过点作，垂足为．……………………………………（1分）
在中，，∴，
∵，∴＞……………………………………（1分）
∴⊙与直线相离．…………………………………………………（1分）
（2）分三种情况：
∵＞，∴＞；……………………………（1分）
当时，易得，
∴，∴，∴；………（2分）
当时，过点作，垂足为．[来源:学科网]
∴，∴，∴．………（2分）
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综合，当是等腰三角形时，的长为或．
（3）联结，过点作，垂足为．
在中，，，；
∴，；∴，…………………（1分）
∵⊙和⊙外切，∴；…………………………………（1分）
在中，，∴；
即；
∴；…………………………………………………………（2分）
定义域为：＜＜．……………:………………………………………（1分）
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3．解：（1）、A（－，0）
∵C（0，－），∴OA=OC。
∵OA⊥OC ∴∠CAO=450----------------------------4分
∵OA= OB1= ∴∠A B1O=∠NAB1 ∴∠PA B1=∠A B1O ∴PA∥B1O
在Rt⊿NOB1中,∠B1ON=450, ∴∠PAN=450, ∴∠1= 900.
∴直线AC绕点A平均每秒300.------------------------------------4分
(3). 的值不变,等于,如图在CE上截取CK=EA,连接OK,
∵∠OAE=∠OCK, OA=OC ∴⊿OAE≌⊿OCK,
∴OE=OK ∠EOA=∠KOC ∴∠EOK=∠AOC= 900.
∴EK=EO ,
X
Y
A
O
E
O1
图2
C
K
l’
∴=----------------------------------------------4分
1
N
C
A
l
O
x
B
M
图1
B1
P
4.答案：（1）解：连结OB和OC．[中#国~教育@*出%版网]
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． ……（2分）
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．[来源#:&中教@^%网]
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
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∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形． ……（7分）
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．[来*源:中@教&%网~]
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12． [ww%w*.zz^s&tep.co~m]
5.解(1)C1(3，)-----------2分
(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx[来源:*#z@zste~p.c^om]
把A(2，0)，C`(3，)带入，得 解得a＝，b＝－
∴抛物线解析式为y＝x2－x-----------------------------------------------5分
(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°[来源:~zzste^p.c@*#om]
又AB＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F(－2，0)
设直线BF的解析式为y＝kx＋b[中国教育出版网*~@#%]
把B(1，)，F(－2，0)带入，得 解得k＝，b＝
∴直线BF的解析式为y＝x＋----------------------------------8分
(4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3[中国#@*教育出%~版网]
得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2
当x1＝4时，y＝×42－×4＝；[中@~国教育出#&版%网]
当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝
∴M1(4，)，M2(－2，)---------------------11分
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②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0 无实解
综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)．---------------14分
6.【答案】（1）证明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO
∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切线[来@源:zzstep^.co&%m*]
（2）证明：∵∠OAC=∠PBC=90°
∴△CPB∽COA
∴ 即AC·PC= OC·BC
（3）解：cos== ∴AO=12
∵△CPB∽COA ∠BPC=∠AOC=
∴tan∠BPC== ∴PB=36 PO=12
∵AB·PO= OB·BP ∴AB=[来源:*&中国教~育#出版网@]
7.答案：解：（1）连接，若当时，有
∵垂直平分,
∴，
∴∠ =∠=∠ (1分)
∴△∽△， (1分)
∴
设，则
∴解得
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即的长为
解：（2）作，垂足为， (1分)
可得 (1分)
∵，，
∴△∽△ (1分)
∴，
∴ (1分)[来~&源:中*国教育出版网@#]
∴() (1分+1分)
解：（3）若点在外时， (2分)
若点在上时， (2分)[来%^~&源:中#教网]
8.解: (1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC, AD∥BC……………………………………………………………1分
∴
∵AB 与AE为圆的半径
∴AB=AE ………………………………………………………………………1分[来源:#&zzstep^@.%com]
∴
∴………………………………………………………………1分
∴△ABC≌△EAD ……………………………………………………………1分[w%ww^.zzste&p.*co#m]
(2) ∵ABAC ∴
∴在直角三角形△ABC中, …………………………………1分
∵=,AB=6 ∴BC=10 ……………………………………………1分
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过圆心A作,H为垂足
∴BH=HE ………………………………………………………………………1分
∴在直角三角形△ABH中,
∴ ∴……………………………………………………2分
∴ ∴…………………………………………………1[来源:zz@s&te~p#.c%om]
9.解：（1）与相切． 1分
理由如下：连结，则．∴∠OMB=∠OBM．
∵平分，∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．∴． 3分[www.z&^zs~tep.c*o#m]
∴．
在中，，是角平分线，[中&国^教育出#版~网@]
∴．∴．
\∴．
∴．∴与相切． 4分[来源:中国@&教育出^#版网~]
（2）在中，，是角平分线，
∴．
∵，∴．
在中，，∴．
设的半径为，则．
∵，∴． 6分[来源:&%中国教育出~版网*#]
．．．∴的半径为． 7:#z~
10．解：（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
． ∴或 ……………4分
（II），∴．
而，∴，． ……………5分
由题意，有
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∴ 即 （﹡）
解之，得 …………………………8分
经检验是方程（﹡）的根，但，∴………10分
注：没有经检验扣2分。
11. 解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，
∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3)
y
A
B
O
C
-1
1
x
第25题图
P
D
又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3)
∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，
即y=x2-2x-3
（2）依题意，得OA=1,OB=3,
∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB
=1∶3
（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。
解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。
∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。
设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。
∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2）
解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D
∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。
∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即
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∴DP=2
∴点P的坐标为（1，-2）
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