2013届增城市第一中学高三第一次月考数学试题(文)及答案.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2013届广东省增城市第一中学高三第一次月考 数学试题（文科）‎ 考试时间：120分钟 命题人：罗志高 审题人：冯海燕 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 若集合，则集合 A. B. C. D. ‎ 2. 命题“若，则”的逆否命题是[中%国教&*^育出版@网]‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 函数的反函数的图象大致是 A B C D 4. 设，则a，b，c的大小关系是 A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ‎ 5. 命题“存在实数，使 > ‎1”‎的否定是 A.对任意实数, 都有>1 B.不存在实数，使1‎ C.对任意实数, 都有1 D.存在实数，使1‎ 6. 函数的图像关于直线对称的充要条件是 A． B． C． D． ‎ 7. 若函数与的定义域均为R，则 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数 C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数 1. 函数的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）‎ 2. 函数的定义域为 A.( ,1) B.(,∞) C.（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）‎ 3. 函数的零点个数为 ( )‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．0‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎ (一）必做题（11-13题）‎ 4. 5. 已知，则＝ ‎ 6. 若函数是奇函数，那么实数__________________.‎ ‎（二）选做题（14 - 15题，只能从中选做一题）‎ 7. ‎((几何证明选讲选做题)‎ 如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为 .‎ 8. ‎（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△（其中为极点）的面积为 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ 9. ‎（本小题满分14分）‎ 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。‎ ‎（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。‎ ‎（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，‎ ‎ （1）列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。‎ 1. ‎(本小题满分13分)‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ 2. ‎ （本小题满分13分）‎ 已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。‎ 3. ‎ (本小题满分13分)‎ 如图，直三棱柱，，‎ AA′=1，点分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ 4. ‎(本小题满分13分) ‎ 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品‎11千克．‎ ‎ (Ⅰ) 求的值；‎ ‎ (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ 1. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．‎ ‎2013届广东省增城市第一中学高三第一次月考 数学试题（文科）参考答案 ‎1－5：ACDAC 6－10：ADBAB 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎11. 1 12. 2e 13. 1 14.15. 3 ‎ ‎16. 【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 ‎ 得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 ‎ （2）（i）设抽取的6所学校中小学为，中学为，大学为；‎ ‎ 抽取2所学校的结果为：，‎ ‎ 共种；‎ ‎ （ii）抽取的2所学校均为小学的结果为：共种 ‎ 抽取的2所学校均为小学的概率为 ‎17. [解析]（1）由已知，‎ 所以f（x）的最小正周期为2，值域为。…………………6分 ‎（2）由（1）知，f（）=‎ ‎ 所以cos（）。‎ ‎ 所以 ‎ ，…………………13分 ‎18. 【解析】（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 因 成等比数列，所以 从而 ，即 ‎ 解得 或（舍去），因此 。‎ ‎19.【解析】（1）（法一）连结，由已知 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 三棱柱为直三棱柱，‎ 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 ‎ 平面，因此 ……6分 ‎（法二）取的中点为P，连结MP，NP，‎ ‎∵分别为和的中点， ‎ ‎∴MP∥,NP∥,‎ ‎∴MP∥面,NP∥面, ‎ ‎∵, ∴面MPN∥面，‎ ‎∵MN面， ∴MN∥面.‎ ‎(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,‎ ‎∴⊥⊥面NBC， ∵==1, ‎ ‎ ∴.‎ ‎(解法2) ‎ ‎20. 解：(Ⅰ)因为时，所以；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：‎ ‎；‎ ‎，令得 函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.‎ ‎21. （Ⅰ）解：当时，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ （Ⅱ）解：，令，解得 ‎ 因为，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）若变化时，的变化情况如下表：‎ 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。‎ ‎ （2）若，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当时，在（0，1）内单调递减，‎ ‎ ‎ ‎ 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 若 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ 8‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/高三数学（文）试卷第 页