2013届增城市第一中学高三第一次月考数学试题(理)及答案.doc

‎2013届广东省增城市第一中学高三第一次月考 数学试题（理科）‎ ‎ 考试时间：120分钟 命题人：罗志高 审题人：张小清 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 若集合，则集合 A. B. C. D. ‎ 2. 命题“若，则”的逆否命题是[中%国教&*^育出版@网]‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 命题“存在实数，使 > ‎1”‎的否定是 A.对任意实数, 都有>1 B.不存在实数，使1‎ C.对任意实数, 都有1 D.存在实数，使1‎ 4. 若函数与的定义域均为R，则 A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数 C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数 5. 函数的反函数的图象大致是 A B C D 6. 设，则a，b，c的大小关系是 A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ‎ 8‎ 1. 函数的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）‎ 2. 函数的零点个数为 ( )‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．0‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ (一）必做题（9-13题）‎ 3. 函数的图像关于直线对称的充要条件是 ‎ 4. 函数的定义域为 ‎ 5. 已知，则＝ ‎ 6. 不等式的解集为__ .‎ 7. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，则的值为 ．‎ ‎（二）选做题（14 - 15题，只能从中选做一题）‎ 8. ‎(几何证明选讲选做题)‎ 如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为 .‎ 9. ‎（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△（其中为极点）的面积为 ‎ 8‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ 1. ‎(本小题满分13分)‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ 2. ‎（本小题满分13分）‎ 已知为等差数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。‎ 3. ‎（本小题满分13分）‎ 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去 参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： ‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： ‎ ‎（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎ ‎ 4. ‎(本小题满分14分)‎ 如图，直三棱柱，，，‎ 点分别为和的中点 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角为直二面角，求的值 8‎ 1. ‎(本小题满分13分) ‎ ‎ 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．‎ ‎ (Ⅰ) 求的值；‎ ‎ (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ 2. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．‎ ‎ ‎ 8‎ ‎2013届广东省增城市第一中学高三第一次月考 数学试题（理科）参考答案 ‎1－4：ACCD 4－8：DABB ‎9. m=-2 ； 10.； 11.；12.；‎ ‎13 . －10 ； 14.； 15. 3 ‎ ‎16. 解：（1）由已知，f（x）=‎ ‎ ‎ 所以f（x）的最小正周期为2，‎ ‎（2）由（1）知，f（）=‎ ‎ 所以cos（）。‎ ‎ 所以 ‎ ，…………………13分 ‎17. 解：（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ‎ 因 成等比数列，所以 从而 ，‎ 即 解得 或（舍去），因此 。‎ ‎18.解：（1）每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为 ‎ 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 ‎（2）‎ 8‎ ‎，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 ‎（3）可取 ‎ ‎ 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. 【解析】（1）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱，‎ 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 ‎ 平面，因此 ……6分 ‎（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示 设则， ‎ 于是，‎ 所以，设是平面的法向量，‎ 由得，可取 设是平面的法向量，‎ 由得，可取 8‎ 因为为直二面角，所以，解得……14分 ‎ ‎ ‎20.解：(Ⅰ)因为时，所以；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：‎ ‎；‎ ‎，令得 函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）解：当时，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ （Ⅱ）解：，令，解得 ‎ 因为，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）若变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。‎ ‎ （2）若，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 8‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当时，在（0，1）内单调递减，‎ ‎ ‎ ‎ 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ ‎ 8‎