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昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题
数 学（理）
（共100分, 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷
一、 选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）
1．抛物线y2＝4x，经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于 ( )
A. B．4 C. D．3
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ( )
A．－ B．－4 C．4 D.
3．命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是 ( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( )
A．充分而不必要条件 B． 充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线
x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 ( )
A．5 B．4 C. D.
6．设a∈R，则a＞1是＜1的 ( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 ( )
A3 B．3或 C. D.或
8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
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9. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，求该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C． D. 2
10．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 ( )
A．5 B. C．20 D．10
11．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )
A．－5 B．1 C．2 D．3
12．已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆的离心率的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
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昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题
数 学（理）
第Ⅱ卷
题号
一
二
三
总分
17
18
19
20
21
得分
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ；
14．设实数满足，则的最大值是 ；
15．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·= ;
16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道＋为定值，请写出关于椭圆的类似的结论： _____________________________________ ___________；当椭圆方程为＋＝1时，＋＝___________.
三、解答题：（本大题共5小题，共52分）
17．(本小题满分10分)
设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
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18. （本小题满分10分）
（1）求与椭圆共焦点的抛物线的标准方程.
(2)已知两圆，，动圆与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心的轨迹方程．
19．（本小题满分10分）
如图，已知点P在正方体的对角线上，.
（1）求DP与CC1所成角的大小；
（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.
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20．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，，且侧面PAB是正三角形，平面平面ABCD.
（1）求证：；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E—BD—A的大小为，若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.
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21．（本小题满分12分）
已知圆C的方程为，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线方程为，O为坐标原点，求面积的最大值.
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昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题
数 学（理）答案
一、选择题：BADBC ABCCD DA
二、填空题：
13. 存在x∈R，x3－x2＋1＞0 14. 15. －
16. 过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则＋为定值
三、解答题：
17.解析：解|4x－3|≤1得≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p⇒q，qp.
∴[，1][a，a＋1]．
∴a≤且a＋1≥1，得0≤a≤.
18.（1）或
（2）
19. 解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．设，
由已知，由
A
B
C
D
P
x
y
z
H
可得．解得，所以．
（Ⅰ）因为，
所以．即与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．w w w
因为，
所以．
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可得与平面所成的角为．
20．解析：
取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABC D．以H为原点，建立空间直角坐标系H－（如图）．则
（I）证明：∵,
P
E
B
C
D
A
H
x
y
z
∴，
∴，即PD⊥A C． ………．．6分
（II） 假设在棱PA上存在一点E，不妨设=λ，
则点E的坐标为， ………．．8分
∴
设是平面EBD的法向量，则
，
不妨取，则得到平面EBD的一个法向量．
又面ABD的法向量可以是=（0,0, ），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
则
可解得，即=
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故在棱上存在点，当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．
21．解析：
（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为：
则：，解得：，此时切线方程为：
切线方程与圆方程联立得：，则直线的方程为
令，解得，∴；令,得,∴
故所求椭圆方程为
（Ⅱ）联立整理得，
令，，则，，
，即：
原点到直线的距离为，
，
∴
=
当且仅当时取等号，则面积的最大值为1．
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