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北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（北区）
九年级数学参考答案及评分标准 2013.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
B
A
D
C
B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号
9
10
11
12
答案
6π
15°或75°
②④
阅卷说明：第11题写对一个答案得2分.
第12题只写②或只写④得2分；有错解得0分.
w W w .x K b 1.c o M
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式 4分
. 5分
14．解：（1）
2分
（2）∵抛物线的顶点坐标为， 3分
∴平移后的抛物线的顶点坐标为. 4分
∴平移后所得抛物线的解析式为. 5分
图1
15．解：在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，(如图1)
∴. ……………1分
∴. ………………………2分
∵， 3分
AC= AD+CD=2+4=6， 4分
在Rt△ABC中，∠C=90°，新 课 标 第 一 网
∴. 5分
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16．（1）证明：如图2.
图2
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B.
∵∠B=∠D，w W w .x K b 1.c o M
∴∠BCO=∠D. ………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O 的直径，且CD⊥AB于点E，
∴. 3分
在Rt△OCE中，，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OAAE=r2，
∴. 4分
解得.
图3
∴⊙O 的半径为3. 5分
17．（1）证明：如图3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．……2分
又∵∠DAE=∠F，
∴∠AEB=∠F.
∴△ABE∽△ECF． 3分
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴. 4分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8.
∴EC=BCBE=82=6. X k B 1 . c o m
图4
∴.
∴. ……………………………………………5分
18．解：（1）作PC⊥AB于C.（如图4）
在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°45°=45°.
∴. ………………2分
在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=30°.
∴.
答：B处距离灯塔P有海里. …………………3分
（2）若海轮到达B处没有触礁的危险. 4分
理由如下：
∵，
而，
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∴.
∴. 5分
∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）w W w .x K b 1.c o M
19．解：（1）它与x轴的交点的坐标为(，0)，（3，0）； 1分
（2）列表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
0
…
图象（如图5）；………………………… 3分
（3）的取值范围是或．…5分
阅卷说明：只写或只写得1分.
20．（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO .
∴∠COB=2∠ACO .
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO =∠PCB . 1分
∵AB是⊙O的直径，http:// www.xkb1.com
∴∠ACO +∠OCB=90° .
∴∠PCB +∠OCB=90°， 即OC⊥CP.
图6
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线. ………………………2分
（2）解：连接MA、MB.（如图6）
∵点M是弧AB的中点，
∴∠ACM=∠BAM.
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA . …………………………3分
∴.
∴.
∵=8，
∴. 4分
∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，
∴∠AMB=90°，AM=BM=. 新 课 标第 一 网
∴. 5分
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图7
21．解：（1）①如图7所示. ……………………………………1分
②DE的长为 2 ； ………………………………2分
（2）点的坐标为，△FBG的周长为 6 ，
△ABC与△重叠部分的面积为．
…………………………………5分
阅卷说明：第（2）问每空1分.
22．解：（1）当时，二次函数的最大值为 49 ； …… 1分
（2）∵二次函数的对称轴为直线，
∴由对称性可知，当和时函数值相等.
∴若，则当时，的最大值为. 2分
若，则当时，的最大值为17. 3分
（3）的值为 或 . 5分
阅卷说明：只写或只写得1分；有错解得0分.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）∵抛物线经过点（，），
∴. X k B 1 . c o m
∴. 1分
（2）∵，
∴， 2分
. 3分
∵，
∴.
∴. 5分
（3）的取值范围为且. 7分
阅卷说明：只写或只写得1分. X|k |B| 1 . c|O |m
24．解：（1）①； 1分
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②结论：的值不变. （阅卷说明：判断结论不设给分点）
证明：连接EF、AD、BC.（如图8）
图8
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴.
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴.
∴.
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC.
∴△AOD∽△BOC． 2分
∴，∠1=∠2.
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，w W w .x K b 1.c o M
∴EF∥AD，FM∥CB，且，.
∴， 3分
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5.
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.
∴∠EFM=90°. 4分
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，
∴∠EMF=30°.
∴. 5分
（2）线段PN长度的最小值为，最大值为. 7分
阅卷说明：第（2）问每空1分.
25．解：（1）①∵直线BE与轴平行，点F的坐标为（，1），xKb1. Com
∴点B的坐标为（，0），∠FBA=90°，BF=1.
在Rt△EFM中，AF=，
∴.
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∴点A的坐标为（，0）.
∴抛物线的解析式为. 1分
②点Q的坐标为（，3），（，5），（，7）. 4分
阅卷说明：答对1个得1分.
（2）∵，，
∴.
∴.
由 ，
.
解得 ，. http://www.xk 1.com
∵，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（，0）.
图9
∴AB=，即 . 5分
方法一：过点D作DG∥轴交BE于点G，
AH∥BE交直线DG于点H，延长
DH至点M，使HM=BF.（如图9）
∵DG∥轴，AH∥BE，
∴四边形ABGH是平行四边形.
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABGH是矩形.
同理四边形CBGD是矩形.
∴AH=GB=CD=AB=GH=.
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°.
在△AFB和△AMH中，
AB=AH，http:// www.xkb1.com
∠ABF=∠AHM=90°，
BF=HM，
∴△AFB≌△AMH. 6分
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M.
∴∠3+∠2=45°.
在△AFD和△AMD中，
AF=AM，
∠FAD=∠MAD，
AD=AD，
∴△AFD≌△AMD.
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∴∠DFA=∠M，FD=MD. w W w .x b 1.c o M
∴∠DFA=∠4. 7分
∵C是AB的中点，
∴DG=CB=HD=.
设BF=，则GF=，FD=MD=.
在Rt△DGF中，，
∴，
解得 .
∴. 8分
方法二：过点D作DM⊥AF于M.（如图10）
∵CD⊥AB，DM⊥AF，
∴∠NCA=∠DMN=90°.
∵∠1=∠2，
图10
∴∠NAC=∠NDM. http://ww w.xkb1.com
∴tan∠NAC=tan∠NDM.
∴. …………………………….6分
∵C是AB的中点，CD=AB=，
∴AC=，.
∵∠DAM=45°，
∴.
设 CN=，则DN=.
∴.
∴.
在Rt△DNM中，，
∴.
.
.
∴，（舍）. http:/ /www.xkb1.com
∴CN=， 7分
AN=.
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∵EB∥轴，
∴EB⊥轴.
∵CD⊥AB，
∴CD∥EB.
∴.
∴AF=.
∴MF= AFAM=.
∴. 8分
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