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珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测
高三理科数学试题
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．已知全集，集合A＝{y | y＝2x，x∈R}，则＝
A． B．(0，＋∞)
n＝12, i＝1
n＝3n＋1
开 始
n是奇数?
输出i
结 束
是
否
n＝
n＝5?
是
否
n
2
i＝i＋1
(第3题图)
C． (－∞，0] D．R
2．已知a，b是实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A．4 B．5 C．6 D．7
4. 已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是
A．若l∥m，mα，则l∥α
B．若l∥α，mα，则l∥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
D．若l⊥α，mα，则l⊥m
5．已知是虚数单位，复数＝
A． B． C． D．
6． 函数y＝sin (2x＋)的图象可由函数y＝sin 2x的图象w W w .x K b 1.c o M
A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到
C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到
7．若实数x，y满足不等式组 则2x＋4y的最小值是
A．6 B．4 C． D．
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8． 对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”：
‖AB‖=，给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D.3 X k B 1 . c o m
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
（一）必做题（9-13题）
9．函数的导函数 ．
10．在递增等比数列{an}中，，则公比＝ ．
11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社
粤曲社
武术社
高一
45
30
高二
15
10
20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.
x
y
O
A
B
F1
F2
(第13题图)
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为 ，则= ．
13．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0) 的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中， 已知曲线： , (为参数）与曲线 ：,（为参数）相交于两个点、，则线段的长为 .
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15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，
若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设向量a＝，b＝，θ为锐角．
（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
17．（本小题满分12分）
某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；w W w .x K b 1.c o M
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
18．（本小题满分14分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：； （2）求证：；
（3）设为中点，在边上找一点，使平面,并求的值.
88
4
主视图
侧视图
俯视图
4
48
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19．(本题满分14分)
已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6. http://ww w.xkb1.com
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标．
20．(本小题满分14分)
已知函数，.
（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）
已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）是否存在非零整数，使不等式
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测
高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：CABD AADB
二、填空题：
9．函数的导函数 ．
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10．在递增等比数列{an}中，，则公比＝ ．
11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社
粤曲社
武术社
高一
45
30
高二
15
10
20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.
x
y
O
A
B
F1
F2
(第13题图)
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为 ，则= ．X k B 1 . c o m
13．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0) 的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中， 已知曲线： , (为参数）与曲线 ：,（为参数）相交于两个点、，则线段的长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，
若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .
9、 10、2 11、150 12、
13、 14、 4 15、 6
三、 解答题：12+12+14+14+14+14=80 X|k |B | 1 . c|O |m
16．（本小题满分12分）
设向量a＝，b＝，θ为锐角．
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（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
17．（本小题满分12分）
某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
18．（本小题满分14分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：； （2）求证：；
（3）设为中点，在边上找一点，使平面,并求的值.
88
4
主视图
侧视图
俯视图
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19．(本题满分14分) 新 课 标 第 一 网
已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标．
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20．(本小题满分14分)
已知函数，.
（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）
已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）是否存在非零整数，使不等式
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：（1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝． ……………… 3分
所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝． ……………… 6分
（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2． ……………… 8分
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ ＝＝＝，
cos2θ＝cos2θ－sin2θ ＝＝＝－．……………… 10分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
＝×＋×(－ )＝． ……………… 12分
解法二 因为a∥b，所以tanθ＝2． ……………… 8分
所以 sinθ＝，cosθ＝．w W w .x K b 1.c o M
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ ＝， cos2θ＝cos2θ－sin2θ ＝－． ……………… 10分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
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＝×＋×(－ )＝． ……………… 12分
17、（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N= …… 3分
(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
……………… 7分
(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3
P(＝0)＝ P(＝1)＝
P(＝2)＝ P(＝3)＝ ……………… 9分
0
1
2
3
P
的分布列是
………… 10分
………… 12分
18.解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。以分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， ……………… 2分
∵，，，∴
∵ ，，
∴…… 4分
（2），
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C
B
A
C1
B1
N
M
P
，又
……………… 8分
（3） 设为上一点，为的中点，，，
设平面的一个法向量为，则有
，则有
∴，得，∴，…10分
//平面，，于是
解得： ……………………… 12分
平面，//平面，此时，
………………………………… 14分
（注：此题用几何法参照酌情给分）
19、(本题满分14分)
解：（Ⅰ）解：由题设得 ……………… 2分
解得： ，…… 3分
故的方程为. …… 5分 离心率 ………………… 6分
（2） 直线的方程为，…… 7分
设点关于直线对称的点为，则
（联立方程正确，可得分至8分）
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所以点的坐标为 ……………………………… 9分
∵，，…… 10分
的最小值为 …………… 11分
直线的方程为 即 …………… 12分
由，所以此时点的坐标为 …………… 14分
20．解：（1）当时，在上是单调增函数，不符合题意．…1分
当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，不符合题意．
当时，函数在上是单调减函数， 则，解得，
综上，的取值范围是． …………………………………4分
（2）把方程整理为，
即为方程. ……………………5分
设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. ……6分
…………7分
令，因为，解得或（舍） …………………8分
当时, , 是减函数；
当时, ，是增函数.……10分X k B 1 . c o m
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在()内有且只有两个不相等的零点, 只需…………13分
即 ∴ X|k |B| . c|O |m
解得, 所以的取值范围是() ． …………………14分
21．（1）由.
当时，，解得或（舍去）． ……2分
当时，
由，
∵，∴，则，
∴是首项为2，公差为2的等差数列，故． ………………4分
另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．
（2）证法一：∵
，……4分
∴当时，
.… 7分w W w .x K b 1.c o M
当时，不等式左边显然成立. ……………… 8分
证法二：∵，∴.
∴.……4分
∴当时，
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.……7分
当时，不等式左边显然成立. ……8分
（3）由，得，
设，则不等式等价于.
，……9分
∵，∴，数列单调递增. …………………… 10分
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
① 当为奇数时，得； ……11分
② 当为偶数时，得，即. ……12分
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．…… 14分
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