2013年中考攻略专题2《待定系数法应用探讨》.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨 锦元数学工作室 编辑 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。‎ 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。‎ 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（‎1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。‎ 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。‎ 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。‎ ‎ 应用待定系数法解题的一般步骤是：‎ ‎（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；‎ ‎（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；‎ ‎（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。‎ 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。‎ 一.　待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据 - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。‎ 典型例题：‎ 例：（2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【 】‎ A．9 B．－‎9 ‎C．±9 D．±3 ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】待定系数法思想的应用。‎ ‎【分析】设，则，‎ ‎∴。故选A。‎ 练习题：‎ ‎1.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】‎ A．64 B．‎48 C．32 D．16‎ ‎2.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　 ▲ 　。‎ ‎3.（2011江苏连云港3分）计算 (x＋2) 2的结果为x 2＋□x＋4，则“□”中的数为【 】‎ A．－2 B．‎2 C．－4 D．4‎ ‎4.（2011湖北荆州3分）将代数式化成的形式为【 】  A. B. C. D.‎ 二.　待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。‎ 典型例题：‎ 例：（2012四川凉山4分）已知，则的值是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】比例的性质。‎ ‎【分析】∵，∴设，则b=5k， a=13k，把a，b的值代入，得，‎ ‎。故选D。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 练习题：‎ ‎1.（2012北京市5分）已知，求代数式的值。‎ ‎2.（2011四川巴中3分）若，则= ▲ 。‎ 三.　待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。‎ 典型例题：‎ 例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：＝ ▲ 。‎ ‎【答案】（x－1）（x＋2）。‎ ‎【考点】因式分解。‎ ‎【分析】设，‎ ‎ ∵，，解得或，‎ ‎ ∴。‎ ‎〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗‎ 例2：分解因式： ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】因式分解。‎ ‎【分析】∵，‎ ‎ ∴可设。‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 比较两边系数，得。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 联立①，②得a=4，b=－1。代入③式适合。‎ ‎ ∴。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012四川南充3分）分解因式： = ▲ 。‎ ‎2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x3—4x2—12x= ▲ 。‎ ‎3. （2011贵州黔东南4分）分解因式： ▲ 。‎ 四.　待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。‎ 典型例题：‎ 例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，‎2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的 点，则(‎2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．‎ ‎【答案】16。‎ ‎【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。‎ ‎【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，‎ ‎∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。‎ 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∴ ，解得 。‎ ‎∴直线l的解析式为：y=2x－1。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵Q（m，n）是直线l上的点，∴‎2m－1=n，即‎2m－n=1。‎ ‎∴(‎2m－n＋3)2=（1+3）2=16。‎ 例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。‎ ‎（2）设点C的坐标为（x，y），‎ ‎∵S△BOC=2，∴•2•x=2，解得x=2。‎ ‎∴y=2×2﹣2=2。‎ ‎∴点C的坐标是（2，2）。‎ ‎【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。‎ ‎（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。‎ 例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．‎ ‎（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；‎ ‎（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，‎ ‎∵图象经过（0，1500），（25，1000），‎ ‎∴，解得：。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。‎ 清洗阶段：y=0。‎ 灌水阶段：设解析式为：y=at+c，‎ ‎∵图象经过（195，1000），（95，0），‎ ‎∴，解得：。∴灌水阶段解析式为： y=10t﹣950。‎ ‎（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。‎ ‎∴排水时间为75分钟。‎ 清洗时间为：95﹣75=20（分钟），‎ ‎∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为‎1500 m3‎，‎ ‎∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。‎ ‎（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。‎ 例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】设反比例函数图象设解析式为，‎ 将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为。故选B。‎ 例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，‎ ‎(1)求抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎(2)求△ABD的面积；‎ ‎(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，‎ ‎∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．‎ 把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎，解得。‎ ‎∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。‎ ‎(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。‎ 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。‎ ‎∴AB＝3－(－1)＝4。‎ ‎∴△ABD的面积＝×4×4＝8。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，‎ ‎∵点A对应点G的坐标为(3，2)。‎ ‎∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，‎ ‎∴点G不在该抛物线上。‎ ‎【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。‎ ‎(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。‎ ‎(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。‎ 例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】y=﹣x2+4x﹣3。‎ ‎【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。‎ ‎ 又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。‎ ‎ ∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。‎ ‎ ∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。‎ 例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；‎ ‎（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．‎ ‎①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；‎ ‎②若⊙M的半径为，求点M的坐标．‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）‎ ‎∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），‎ ‎ 将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。‎ ‎（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，‎ 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，‎ 解得，x=，即OP=。‎ ‎（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。‎ ‎（i）如图1，当H在点C下方时，‎ ‎∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。‎ ‎∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。‎ ‎∴M（1，﹣2）。‎ ‎（ii）如图2，当H在点C上方时，‎ ‎∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。‎ 由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，‎ 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，‎ 把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。‎ ‎∴y=x﹣2。‎ 由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。‎ 此时y=。‎ ‎∴M′（）。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，‎ 在Rt△AOC中，AC=。‎ ‎∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，‎ ‎∴△AED∽△AOC，‎ ‎∴，即，解得AD=2。‎ ‎∴D（1，0）或D（﹣3，0）。‎ 过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。‎ 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，‎ 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得。 ‎ ‎∴点M的坐标为（）或（）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。‎ ‎ （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。‎ ‎（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。‎ ‎②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．‎ ‎（注：总成本=每吨的成本×生产数量）‎ ‎2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．‎ ‎3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为‎0.25m，则y与x的函数关系式为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；‎ ‎ ①y随x变化的部分数值规律如下表：‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．‎ ‎ (2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．‎ ‎5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，‎ 与x轴交于A、B两点．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使 得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．‎ ‎ (1)求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎ (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；‎ ‎ (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 的长．‎ 五.　待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。‎ 典型例题：‎ 例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示：‎ 年份 ‎1896‎ ‎1900‎ ‎1904‎ ‎…‎ ‎2012‎ 届数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ n 表中n的值等于 ▲ ．‎ ‎【答案】30。‎ ‎【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。‎ ‎【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。‎ ‎ 将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ∴。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为。‎ ‎ 当y=2012时，，解得x=30。‎ ‎ ∴n=30。‎ 例2：（2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．‎ ‎【答案】4n﹣2。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。‎ ‎【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。‎ ‎ 设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为，‎ ‎ 将（1，2），（2，6）代入，得，解得。‎ ‎ ∴。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为。‎ ‎ ∴当x= n时，。‎ ‎ ∴第n个图案中阴影小三角形的个数是。‎ 例3：（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】21。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。‎ ‎【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。‎ ‎ 设二阶等差数列与次序之间的关系为，‎ ‎ 将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。‎ ‎ ∴。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为。‎ ‎ ∴当x= 5时，。‎ ‎ ∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。‎ 练习题：‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1. （2012山东济宁6分）问题情境：‎ 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？‎ 建立模型：‎ 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．‎ 解决问题：‎ 根据以上步骤，请你解答“问题情境”．‎ ‎2.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .‎ ‎3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部 - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 分小正方形的个数是 ▲ ．‎ ‎4.（2012青海省2分）观察下列一组图形：‎ 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．‎ ‎5.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：‎ ‎（1）第5个图形有多少黑色棋子？‎ ‎（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．‎ 六.　待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。‎ 典型例题：‎ 例1：（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】延长DC与A′D′，交于点M，‎ ‎∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，‎ ‎∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。‎ ‎∴∠D=180°-∠A=120°。‎ 根据折叠的性质，可得 ‎∠A′D′F=∠D=120°，‎ ‎∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。‎ ‎∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。‎ ‎∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。‎ ‎∴BC=CM。‎ 设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，‎ 在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。‎ ‎∴。故选A。‎ 例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是　▲　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，‎ ‎∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，‎ ‎∵，∴。∴设CD＝2x，CF＝3x，‎ ‎∴。∴tan∠DCF＝。‎ 例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切定义，解下列问题：‎ ‎（1）ctan30°= ；‎ ‎（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．‎ 例4：（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎（2）设BP=x。‎ ①若，BM=，求x的值；‎ ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，‎ ‎ ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。‎ ‎ ∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。‎ ‎（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，‎ ‎ ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。‎ ‎ 解得x=或x=。‎ ‎ ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。‎ ‎ ∵△ADM≌△APN，∴。‎ ‎∴。‎ 如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。‎ 在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，‎ ‎∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴当x=1时，S的最小值为。‎ ③连接PG，设DE交AP于点O。‎ 若∠BAD=150，‎ ‎∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。‎ ‎∵△APD和△APE都是等边三角形，‎ ‎∴AD=DP=AP=PE=EA。‎ ‎∴四边形ADPE是菱形。‎ ‎∴DO垂直平分AP。‎ ‎∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。‎ ‎∴∠PGA =900。‎ 设BG=t，‎ 在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。‎ ‎∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。‎ ‎∴当BP=2－2时，∠BAD=150。‎ 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。‎ ‎∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。‎ 设AO=a，则AD=AE=‎2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。‎ 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵DH=AD=‎2a，‎ ‎∴GH=DH－DG=‎2a－（－1）a=（3－）a，‎ HE=2DO－DH=‎2‎a－‎2a=2（－1）a。‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴。‎ ‎∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。‎ ‎ （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。‎ ‎ ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，‎ 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。‎ ‎ ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。‎ ‎ 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】‎ A．＋1 B．＋‎1 ‎‎ C．2.5 D．‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，‎ 折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】‎ A．2 B．‎4 C． D．‎ ‎3. （2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．‎ ‎（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；‎ 第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；‎ 第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．‎ 第三步，连接BD．‎ ‎（2）求证：AD2=AE•AB；‎ ‎（3）连接EO，交AD于点F，若‎5AC=3AB，求的值．‎ ‎4. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．‎ ‎（1）如图l，求证：PC=AN；‎ ‎（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK： CF=2：3，求DQ的长．‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎5. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB 于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。‎ ‎(1)求证：P是线段AQ的中点；‎ ‎(2)若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。‎ - 24 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎