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【2013年中考攻略】专题5：方程（组）应用探讨
锦元数学工作室 编辑
初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二选一（或同题）的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无理方程和可化为二元一次方程的高次方程组）。它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为：
①审（审题）；
②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；
③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）；
④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程（组））；
⑥解（解方程（组））；
⑦验（检验解的有效性和实际意义的符合性）；
⑧答（回答题问）。
它们的应用包括（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶度问题；（4）增长率问题；（5）销售利润和存贷问题；（6）比例和调配（分配）问题；（7）数字问题；（8）和差倍分问题；（9）几何问题；（10）分段问题；（11）规律探究问题；（12）不定方程问题；（13）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、行程问题
解题指导：
（1）基本量是：路程、速度和时间。
基本关系是：①路程= 速度×时间；②时间=；③速度=。
（2）基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（风速）问题；环形跑道问题等。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系。
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行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到行船（风速）问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
典型例题：
例1.（2012宁夏区3分）小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了
16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分
钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为：
上坡用的时间×上坡的速度＋下坡用的时间×下坡速度=1200，
上坡用的时间＋下坡用的时间=16。
把相关数值代入（注意单位的通一），得。故选B。
例2.（2012浙江台州4分）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】方程的应用（行程问题）。
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【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车的平均速度为x千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x＋20千米/时。等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了，即
回来时路上所花时间是去时路上所花时间的
= ·
故选A。
例3.（2012四川内江3分）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】由实际问题抽象出方程（行程问题）。
【分析】∵甲车的速度为千米/小时，则乙甲车的速度为千米/小时
∴甲车行驶30千米的时间为，乙车行驶40千米的时间为，
∴根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得。故选C。
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例5. （2012江苏宿迁10分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6 h。问平路和坡路各有多远？
【答案】解：设平路有x km ，坡路有y km，根据题意，得
，解得。
答：平路有150 km ，坡路有120 km。
【考点】二元一次方程组的应用（行程问题）。
【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
（1）以60km/h的速度走平路的时间＋以30km/h的速度爬坡的时间=6.5 h；
（2）以40km/h的速度下坡的时间＋以50km/h的速度走平路的时间=6 h。
例6. （2012辽宁丹东10分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险. 半小
时后，第二队前去支援，平均速度是第一队的1.5倍，结果两队同时到达．已知抢险队的出发地与灾区的
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距离为90千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？
【答案】解：设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．
根据题意，得：，解这个方程，得x=60 。
经检验，x=60是所列方程的根。
1.5x=1.5×60=90。
答：第一队的平均速度是60千米/时，第二队的平均速度是90千米/时。
【考点】分式方程的应用。
【分析】设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．根据半小时后，第二队前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是小时，即可列方程求解。
练习题：
1. （2012辽宁本溪3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公
交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速
度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为【 】
A、 B、 C、 D、
2. （2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是【 】
A． B．
C． D．
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3. （2012辽宁鞍山3分） A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到小时．设乙的速度为x千米/时，可列方程为 ▲ ．
4. （2012湖北十堰8分）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度．
5. （2012辽宁锦州10分）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km.大部队先行，出发1小时后，
由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部
队的1.5倍，求大部队的行进速度. （列方程解应用题）
6. （2012山东青岛6分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84km，
返回时经过跨海大桥，全程约45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回
时多20min．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．
7. （2012广西桂林8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家
中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速
骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是
步行速度的3倍．
(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？
8. （2011广西崇左2分）元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”，请你回答：良马 ▲ 天可以追上驽马.
二、工程问题
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解题指导：
（1）基本量是：工作量、工作效率、工作时间。
基本关系是：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=；③工作效率=。
（2）基本类型：有工作总量和无工作总量。
（3）在工程问题中，若工作总量给出了明确的数量，此时工作效率也即工作速度；若没有给出明确的数量，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量；②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。
典型例题：
例1. （2012四川达州3分）为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完
成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40
天,如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务.若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是
【 】
A、 B、
C、 D、
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+40）天．甲队单独一天完成这项工程的，乙队单独一天完成这项工程的，
甲、乙两队合作一天完成这项工程的，则。故选B。
例2. （2012吉林省2分） 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600
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台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】因为原计划每天生产x台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是天，原计划生产450台机器所需时间是天，由“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”得方程。故选C。.
例3. （2012辽宁铁岭3分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙
两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设
乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为 ▲ .
【答案】。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】∵甲、乙两工程队合作施工20天可完成；∴合作的工作效率为：。
若设乙工程队单独完成此工程需要x天，则可列方程。
例4. （2012福建厦门9分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用 (x2－1)小时，丙车床需用(2x－2)小时.
（1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间；
（2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由.
【答案】解：（1）由题意得, x＝(2x－2)，解得x＝4。
∴ x2－1＝16－1＝15(小时)。
答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时。
（2）不相同。
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若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得,
＝ ，
∴＝。∴x＝1。
经检验，x＝1不是原方程的解， ∴ 原方程无解。
答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同。
【考点】一元一次方程和分式方程的应用。
【分析】（1）若甲车床需要x小时，丙车床需用（2x-2）小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的，即可列出方程求解。
（2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可。
例5. （2012辽宁沈阳10分）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？
【答案】解：设乙每小时加工机器零件x个， 则甲每小时加工机器零件（x＋10） 个，
根据题意得：，解得x=40。
经检验， x=40是原方程的解，
x+10=40+10=50。
答： 甲每小时加工50个零件， 乙每小时加工40个零件。
【考点】分式方程的应用（工程问题）。
【分析】根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等”可得出相等关系，从而只需表示出他们各自的时间即可。
例6. （2012山东临沂6分）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．
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练习题：
1. （2012内蒙古赤峰3分）某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为 ▲ ．
2. （2012湖北黄冈6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两
个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1．2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故
障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件．
3. （2012贵州安顺10分）某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
4. （2012山东泰安10分）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
5. （2012广西玉林、防城港10分）
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一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天.
（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由.
三、溶度问题
解题指导：
（1）基本量是：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。
基本关系是：①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；
②浓度=×100％=×100％
（纯度（含量）=×100％=×100％）；
③溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）
（2）在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。
典型例题：
例1. （2011湖南株洲6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，
问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
【答案】解：设A饮料生产了瓶，B饮料生产了瓶，依题意得：
， 解得：。
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶 。
【考点】二元一次方程组的应用（浓度问题）。
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【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
①A两种饮料＋B两种饮料＝100瓶
＋ ＝ 100
②A两种饮料添加剂＋B两种饮料添加剂＝270克
2 ＋ 3 ＝ 270。
例2. （2011浙江温州12分）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
【答案】解：（1）400×5%=20克．
答：这份快餐中所含脂肪质量为20克；
（2）设所含矿物质的质量为克，由题意得：
+4+20+400×40%=400，
∴=44。∴4=176。
答：所含矿物质的质量为176克；
（3）设所含矿物质的质量为克，则所含碳水化合物的质量为（380﹣5）克。
∴4+（380﹣5）≤400×85%，
∴≥40，∴380﹣5≤180，
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．
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【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用
【分析】（1）快餐中所含脂肪质量=快餐总质量×脂肪所占百分比。
（2）根据这份快餐总质量为400克，列出方程求解即可。
（3）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，列出不等式求解即可。
练习题：
1. （2000浙江湖州10分）某校初三学生在上实验课时，要把2000克质量分数为80%的酒精溶液配制成质量分数为60%的酒精溶液，某学生未经考虑先加了500克水．
（1）试通过计算说明该学生加水是否过量；
（2）如果加水不过量，则还应加入质量分数为20%的酒精溶液多少克？如果加水已经过量，则需再加入质量分数为95%的酒精溶液多少克？
2. （2002重庆市10分）实际测试表明1千克重的干衣物用水洗涤后拧干，湿重为2千克，今用浓度为1%的洗衣粉溶液洗涤0.5千克干衣物，然后用总量为20千克的清水分两次漂洗．假设在洗涤和漂洗的过程中，残留在衣物中的溶液浓度和它所在的溶液中的浓度相等，且每次洗、漂后都需拧干再进入下一道操作．问怎样分配这20千克清水的用量，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液浓度最小，残留在衣物上的洗衣粉有多少毫克？（保留3个有效数字）（溶液浓度= ×100%，1千克=106毫克）
3. （1998浙江湖州5分）某商店选用售价为每千克22元的甲种糖30千克，每千克20元的乙种糖20千克，每千克18元的丙种糖50千克，混合成杂拌糖后出售，则这种杂拌糖平均每千克售价应是 ▲ 元．
4. （2009浙江湖州3分）某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为【 】
A．11元/千克 B．11.5元/千克 C．12元/千克 D．12.5元/千克
四、增长率问题
解题指导：
（1）基本量是：期初数、期末数、增长率。
基本关系：期末数=期初数×（1＋增长率）。
（2）基本类型： 非连续增长和连续增长。
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（3）在增长率问题中关键量是“增长率”。对于连续增长，增长率是相同的（平均增长率），连续两次增长后，期末数=期初数×（1＋平均增长率）2。增长率问题还包括负增长，如降价。
典型例题：
例1.（2012广东湛江4分）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是【 】
A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000 C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500
【答案】D。
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。
【分析】设年平均增长率为x，那么2010年的房价为：4000（1+x），2011年的房价为：4000（1+x）2=5500。故选D。
例2.（2012江苏泰州3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次
降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是【 】
A． B．
C． D．
【答案】C。
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。
【分析】平均每次降价的百分率为x，
第一次降价后售价为36(1－x)，
第二次降价后售价为36(1－x) (1－x)＝36(1－x)2。据此列出方程：。故选C。
例3. （2012广东省7分）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
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（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
【答案】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得
5000（1+x）2 =7200．
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）。
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%。
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为
7200（1+x）=7200×120%=8640万人次。
答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解。
（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次。
例4. （2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
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例5. （2012四川广元9分）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售。由于国
家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售。
（1）求平均每次下调的百分比；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力。请问房产销售经
理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】解：（1）设平均每次下调的百分比为x，则有，，
∵1－x>0， ∴1－x =0.9， x =0.1=10%。
答：平均每次下调10%。
（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1－5%)×(1－15%）=5652.5元
∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些。
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1-
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每次下调的百分率）2=经
过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可。
（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解。
例6. （2012甘肃白银10分）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价；
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．
【答案】解：（1）∵36÷（1+80%）=20元，
∴这种玩具的进价为每个20元。
（2）设平均每次降价的百分率为x，则
36（1﹣x%）2=25，
解得x≈16.7%．
∴平均每次降价的百分率16.7%。
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。
【分析】（1）根据计划每个售价36元，能盈利80%，可求出进价。
（2）设平均每次降价的百分率为x，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解。
练习题：
1. （2012湖南娄底3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是【 】
A． 289（1﹣x）2=256 B． 256（1﹣x）2=289 C． 289（1﹣2x）=256 D． 256（1﹣2x）=289
2. （2012四川成都3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是【 】
A．100（1＋x）=121 B． 100（1－x）=121 C． 100（1＋x）2=121 D． 100（1－x）2=121
3. （2012广东佛山3分）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ▲
4. （2012福建龙岩3分）为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2011
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年该县政
府在这项建设中已投资3亿元，预计2013年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为 ▲ ．
5. （2012辽宁丹东3分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为 ▲ ．
6.（2012辽宁阜新3分）我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ▲ ．
7. （2012山东莱芜4分）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要
投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该
市要投入的教育经费为 ▲ 万元．
8. （2012四川乐山10分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
9. （2012贵州黔南10分）2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒。4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元。
（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？
（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？
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10. （2012广西钦州8分）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
11. （2011四川自贡4分）龙都电子商场出售A，B，C三种型号的笔记本电脑，四月份A型电脑的销售额占三种型号总销售额的56％，五月份B，C两种型号的电脑销售额比四月份减少了m％，A型电脑销售额比四月份增加了23％，已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了12％，则m=
▲ ．
五、销售利润和存贷问题
解题指导：
（1）销售利润基本量是：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
存贷基本量是：本金、利息、利息税，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
基本关系：①利润=销售价（收入）－成本（进价），成本（进价）=销售价（收入）－利润；
②利润率=，利润=成本（进价）×利润率。
③利息=本金×利率×期数； ④利息税=利息×税率；
⑤本息和（本利）=本金+利息－利息税。
（2）基本类型： 已知进价、售价、求利润率；已知进价、标价及利润率，求标价或原价的折数。 已知利润率、标价求进价。
（3）在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
典型例题：
例1. （2012青海省3分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是【 】
A．元 B．元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元
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【答案】A。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设原收费标准每分钟是x元，则按原标准每分钟降低a元后价格为x－a元，再次下调20%后的价格为（1﹣20%）（x－a）元，根据收费标准是每分钟b元得方程：
（1﹣20%）（x－a）=b，解得x=。故选A。
例2. （2012黑龙江牡丹江3分）菜种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利l0％，则这种商品每件的进价为【 】，
A．240元 B．250元 C．280元 D．300元
【答案】A。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设这种商品每件的进价为ｘ元，根据题意，得330·80%＝（1+10%）ｘ，解得ｘ＝240（元）。故选A。
例3. （2012辽宁锦州3分）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元.店庆期间，商场为了
答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打 ▲ 折.
【答案】七。
【考点】一元一次方程的应用（利润问题）。
【分析】设最多可打x折，根据题意和销价－进价=利润=进价×利润率，得
1200x－800=800·5%，解得x=0.7。
∴要保证利润率不低于5%，最多可打七折。
例4. （2012山西省10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】解：（1）设每千克核桃应降价x元。
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6。
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答：每千克核桃应降价4元或6元。
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元。
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元。
此时，售价为：60﹣6=54（元），。
答：该店应按原售价的九折出售。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
每千克核桃的利润×每天的销售量=每天获利2240元
（60﹣x﹣40） ·（100+×20）=2240。
求该店应按原售价的几折出售，只要求出新的售价，与原售价相比即可。
例5. （2012江苏南京8分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。
① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
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例6. （2012江苏无锡8分）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
【答案】解：（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）•x+x•10%×5=0.7x，
投资收益率为×100%=70%。
按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）•x+x•10%×（1﹣10%）×3=0.62x，
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投资收益率为×100%≈72.9%。
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。
（2）由题意得0.7x﹣0.62x=5， 解得x=62.5
∴甲投资了62.5万元，乙投资了62.5×80%＝53.125万元。
【考点】列代数式，一元一次方程的应用。
【分析】（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较。
（2）利用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解。
例7. （2012湖南娄底8分）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．
篮球
排球
进价（元/个）
80
50
售价（元/个）
95
60
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
【答案】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
，解得：。
答：购进篮球12个，购进排球8个。
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60﹣50）=（95﹣80）a，解得：a=4。
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系：①篮球和排球共20个②全部销售完后共获利润260元可的方程组，解方程组即可。
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每个排球的利润×6=每个篮球的利润×a，列出方程，解可得答案。
练习题：
1. （2012黑龙江龙东地区3分）某商品按进价提高40％后标价，再打8折销售，售价为1120元，则这种电器的进价为 ▲ 元。
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2. （2012山东枣庄3分）“五一”节期间，某电器按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是【 】
A． B．
C． D．
3. （2012内蒙古包头10分）某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120 元，售价138 元；乙种商品每件进价100 元，售价120 元。
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
4. （2012福建三明10分）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品
件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）
5. （2011广东深圳3分）一件服装标价200元，若以六折销售，仍可获利20℅，则这件服装进价是【 】
A.100元 B.105元 C.108元 D.118元
6. （2011山西省2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30％后标价，再打8折(标价的80％)销售，售价为2080元．设该电器的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是【 】
A． B．
C． D．
7. （2011黑龙江大庆3分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价m元后，又降
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低20%，此时售价为n元，则该手机原价为 ▲ 元．
8. （2011黑龙江牡丹江3分）某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20％，这种商品每件标价是 ▲ 元．
六、比例和调配（分配）问题
解题指导：
比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。
典型例题：
例1. （2012山东东营9分）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．
求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【答案】解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，
依题意得： ，整理得： ，
①×12－②得：13y=3900，解得：y=300。
将y=300代入①得：x=400，
∴方程组的解为：。
答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨。
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（2）依题意得：300×8000-400×1000-15000-97200=1887800（元），
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程×1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×1.5y=这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×1.2y=这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解集得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数。
（2）由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和，即可求出所求的结果。
例2. （2012内蒙古呼和浩特8分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x表示 ▲ ，y表示 ▲
乙：x表示 ▲ ，y表示 ▲
（2）甲同学根据他所列方程组解得x=300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
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【答案】解：（1）产品的重量，原料的重量。产品销售额；原料费。
补全甲、乙两名同学所列方程组如下：
甲：；乙：。
（2）将x=300代入原方程组解得y=400。
∴产品销售额为300×8000=2400000（元），原料费为400×1000=400000（元）。
又∵运费为15000+97200=112200（元）
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多2400000﹣（400000+112200）=1887800（元）。
【考点】二元一次方程组的应用。144
【分析】（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出x，y的值并补全方程组即可。
（2）将x的值代入方程组即可得到结论。
例3. （2012辽宁朝阳12分）为支持抗震救灾，我市A、B两地分别的赈灾物资100吨和180吨。需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨。
（1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？
（2）设A地运往C县的赈灾物资为x吨（x为整数），若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？
【答案】解：（1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，根据题意得，
，解得。
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答：这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨，120吨。
（2）∵A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，∴B地运往C县的物资是（160－x）吨，A地运往D县的物资是（100－x）吨，B地运往D县的物资是120－（100－x）=（20＋x）吨，根据题意得，
，解得。∴不等式组的解集是40＜x≤43。
∵x是整数，∴x取41、42、43。
∴方案共有3种，分别为：
方案一：A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，则B地运往C县的物资是119吨，
A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；
方案二：A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，则B地运往C县的物资是118吨，
A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；
方案三：A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，则B地运往C县的物资是117吨，
A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用（调配问题）。
【分析】（1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程，再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可。
（2）根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出B地运往C县的物资是（160－x）吨，A地运往D县的物资是（100－x）吨，B地运往D县的物资是120－（100－x）=（20＋x）吨，然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出一个不等式，根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据x为整数即可得解。
例4. （2011四川眉山9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？
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（2）若A地运往D地立方米（为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：
A地
B地
C地
运往D地（元/立方米）
22
20
20
运往E地（元/立方米）
20
22
21
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
【答案】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x＋2x－10=140，
解得：x=50，
∴2x－10=90。
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米。
（2）由题意可得，，解得：20＜≤22。
∵是整数，∴=21或22。
∴有如下两种方案：
方案一：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米，
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
方案二：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米，
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米。
（3）方案一共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），
方案二共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元）。
所以，第一种方案的总费用最少。
【考点】一元一次不等式组和一元一次方程的应用。
【分析】（1）设运往E地x立方米，由题意可列出关于x的方程，求出x的值即可。
（2）由题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据是整数可得出a的值，进而可求出答案。
（3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可。
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练习题：
1. （2012广西北海8分）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。
（1）求出该班男生与女生的人数；
（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人
数2人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？
2. （2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地
车 型
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的
总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并
求出最少总运费。
3. (2011四川德阳3分)两条平行线被第三条直线所截，如果一对同旁内角的度数之比为3：7，那么这两个角的度数分别是【 】
A． 30°，70° B． 60°，l40° C．54°，l26° D． 64°．ll6°
4. （2011山东潍坊10分）2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
到凤凰社区的路程(千米)
运费（元/吨·千米）
甲厂
20
12
乙厂
14
15
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（1）若某天总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）若每天甲厂最多可调出80吨，乙厂最多可调出90吨. 设从甲厂调运饮用水吨，总运费为W元. 试写出W关于的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？
七、数字问题
解题指导：
（1）基本量是：数位、数位上的数字、数值。
基本关系是：数值=个数位上的数字＋十数位上的数字×10＋百数位上的数字×100＋…
（2）数字问题是常见的数学问题。数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系，如两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。
典型例题：
例1. （2012四川德阳3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文，，，，.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为【 】
A. 4，6，1，7 B. 4，1，6，7 C.6，4，1，7 D.1，6，4，7
【答案】C。
【考点】多元一次方程组的应用。
【分析】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解：依题意，得
，解得。故选C。
例2. （2011湖北恩施3分）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻
12：00
13：00
14：30
碑上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数中间多了个0
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则12：00时看到的两位数是 【 】
A、24 B、42 C、51 D、15
【答案】D。
【考点】二元一次方程组的应用（数字问题）。
【分析】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x+y，
则13时看到的两位数为x+10y，12～13时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y），
14：30时看到的数为100x+y，14：30～13时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）。
由题意列方程组得：，解得：，
所以12：00时看到的两位数是15。故选D。
例3. （2011宁夏自治区3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是【 】
A． B．
C． D．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组（数字问题）。
【分析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组
故选B。
练习题：
1. （2008贵州铜仁4分）设一个三位数个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，请你写出这个三位数 ▲
2. （2003湖南娄底2分）一个两位数，十位数字为a，个位数字为1，这个两位数用代数式表示 ▲
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3. （2008贵州黔南4分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是【 】
A．－1，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1
4. （2007浙江台州4分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为【 】
A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，6
5. （2007山东泰安3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文x，y，z对应密文2x+3y，3x+4y，3z．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为 ▲
八、和差倍分问题
解题指导：
和差倍分关系在初中数学和中考中有着广泛的应用，解题规律：总和÷（倍数+1）=1倍量（和倍问题），两数差÷（倍数-1）=1倍量（差倍问题），大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2（和差问题）。
典型例题：
例1.（2012宁夏区3分）运动会上，初二 (3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为【 】．
A． B. C． D.
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为：
甲种雪糕数量比乙种雪糕数量多20根。
而甲种雪糕数量为，乙种雪糕数量为。（数量=金额÷价格）
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从而得方程：。故选B。
例2.（2012浙江温州4分）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元,设其中有张成人票，张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】根据“小明买20张门票”可得方程：；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：，把两个方程组合即可。故选B。
例3.（2012福建莆田4分）甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60
棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是
【 】
A． B． Ｃ． Ｄ．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】本题需重点理解：甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式：
设甲班每天植树x棵，乙班每天植树x＋2棵，则甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为，所以可列方程：。故选B。
例4. （2012湖南衡阳3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得【 】
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A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，得；根据用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，得，联立可得出方程组。故选B。
例5. （2012北京市5分）列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
【答案】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，
则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克，
由题意得：，解得：x=22。
经检验：x=22是原分式方程的解。
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克。
【考点】分式方程的应用。
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克，根据关键语句“若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，”可得方程，解方程即可得到答案。注意最后一定要检验。
例6. （2012海南省8分）为了进一步推进海南国际旅游岛建设，海口市自2012年4月1日起实施《海口
市奖励旅行社开发客源市场暂行办法》，第八条规定：旅行社引进会议规模达到200人以上，入住本市A类
旅游饭店，每次会议奖励2万元；入住本市B类旅游饭店，每次会议奖励1万元。某旅行社5月份引进符
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合奖励规定的会议18次，得到28万元奖金.求此旅行社符合奖励规定的入住A类和B类旅游饭店的会议各
多少次。
【答案】解：设入住A类旅游饭店的会议x次，则入住B类旅游饭店的会议18－x次。
根据题意，得2x＋（18－x）=28，
解得x=10，18－x=8。
答：此旅行社入住A类旅游饭店的会议10次，入住B类旅游饭店的会议8次。
【考点】方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
入住A类旅游饭店的会议奖励＋入住B类旅游饭店的会议奖励=28万元
2·x ＋ 1·（18－x） = 28。
例7. （2012江苏苏州6分）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？
【答案】解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，则美国人均淡水资源占有量为5xm3。
根据题意得： x ＋5x =13800，解得，x=2300 ，5 x =11500。
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3
x ＋5x = 13800。
例8. （2012湖北宜昌10分）[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
[问题解决]
甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
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（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．
【答案】解：（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为（60﹣x）人。
依题意得：18x+6（60﹣x）=600。
解之得：x=20，60﹣x=40。
∴2009年两校响应本校倡议的人数分别是20人和40人．
（2）设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n。依题意得：
由①得m=20n，代入②并整理得2n2+3n﹣5=0
解之得n=1，n=﹣2.5（负值舍去）。∴m=20。
∴2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量：
（20+2×20）×18+40（1+1）2×6=2040（千克）。
答：2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2040千克。
【考点】一元一次方程和二元一次方程组的应用。141
【分析】（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为60﹣x人，根据题意列出方程求解即可。
（2）设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n．根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可。
例9. （2012湖南株洲6分）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：
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小华：77分 小芳75分 小明： ？ 分
（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？
（2）依此方法计算小明的得分为多少分？
【答案】解：（1）设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：
，解得：。
答：求掷中A区、B区一次各得10，9分。
（2）由（1）可知：4x+4y=76。
答：依此方法计算小明的得分为76分。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）首先设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，根据图示可得等量关系：①掷到A区5个的得分+掷到B区3个的得分=77分；②掷到A区3个的得分+掷到B区5个的得分=75分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分。
（2）由图示可得求的是掷到A区4个的得分+掷到B区4个的得分，根据（1）中解出的数代入计算即可。
例10. （2012山东济宁6分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【答案】解：∵60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
∴该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x1=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，
当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x2=220不合题意，舍去。
∴x=80。
答：该校共购买了80棵树苗。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解出即可。
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练习题：
1. （2012贵州铜仁4分）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是【 】
A． B．
C． D．
2. （2012新疆区5分）甲乙两班进行植树活动，根据提供信息可知：①甲班共植树90棵，乙班共植树129棵；②乙班的人数比甲班的人数多3人；③甲班每人植树数是乙班每人植树数的．若设甲班人数为x人，求两班人数分别是多少，正确的方程是【 】
A． B． C． D．
3. （2012江苏南通3分）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共
40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 ▲ 张．
十、分段问题
解题指导：
分段问题主要涉及两个区间段，甚至更多区间段的计算，内容包括销售、税金、支付、提成、水电气费等。解这类问题时需分清应该应用那段范围的关系式解题。
典型例题：
例1. （2012天津市8分）温馨提示：
若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．
某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/（元/分）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），
请根据表中提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：
t≤150
150＜t＜350
t=350
t＞350
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方式一计费/元
58
108
方式二计费/元
88
88
88
（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等；
（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
【答案】解：（Ⅰ）填表如下：
t≤150
150＜t＜350
t=350
t＞350
方式一计费/元
58
0.25t+20.5
108
0.25t+20.5
方式二计费/元
88
88
88
0.19t+21.5
（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）－（0.19t+21.5）=0.06t－1＞0，
∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．
∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270。
∴当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等。
（Ⅲ）方式二，理由如下：
方式一收费－方式二收费y=0.25t＋20.5－0.19t－21.5=0.06t－1，
∵当330＜t＜360时，y＞0，∴方式二更划算．
答：当330＜t＜360时，方式二计费方式省钱。
【考点】列代数式，一元一次方程的应用。
【分析】（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可：
①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
②当t＞350时，方式一收费：58+0.25（x－150）=0.25t+20.5；
③方式二当t＞350时收费：88+0.19（x－350）=0.19t+21.5．
（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，从而建立方程即可得出答案。
（III）计算出两种方式在此区间的收费情况，然后比较即可得出答案。
例2. （2012浙江宁波10分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨以下
a
0.80
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.80
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超过30吨的部分
6.00
0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
【答案】解：（1）由题意，得
，
②﹣①，得5（b+0.8）=25，b=4.2。
把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66，解得a=2.2。
∴a=2.2，b=4.2。
（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9200×2%=184元，
∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨。
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，
6.8（x﹣30）≤68，解得x≤40。
∴小王家六月份最多能用水40吨。
【考点】一元一次不等式和二元一次方程组的应用。
【分析】（1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可。
（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可。
例3. （2012江苏淮安10分）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：
第一档电量
第二档电量
第三档电量
月用电量210度以下，每度价格0.52元
月用电量210至350度，每度比第一档提价0.05元
月用电量350度以上，每度电比第一档提价0.30元
例：若某户月用电量400度，则需缴电费为
210×0.52+（350－210）×（0.52+0.05）+（400－350）×（0.52+0.30）＝230元
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（1）如果按此方案计算，小华家5月份电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
（2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用量属于第几档？
【答案】解：（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元，
用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189元，
∴小华家5月份的用电量在第二档。
设小华家5月份的用电量为x，则
210×0.52＋（x－210）×（0.52＋0.05）=138.84，
解得：x=262。
∴小华家5月份的用电量为262度。
（2）由（1）得，当a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；
当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档；
当a＞189时，华家的用电量在第三档。
【考点】分段函数和一元一次方程的应用。
【分析】（1）分别计算出用电量为210度，350度时需要交纳的电费，然后可得出小华家5月份的电量在哪一档上，从而列式计算即可。
（2）根据（1）求得的结果，讨论a的值，得出结论。
例4. （2011重庆潼南4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则= ▲ 度．
【答案】40。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】根据题中所给的关系，找到等量关系，可列出方程求出。本题等量关系为：
基本用电量电费 ＋ 超基本用电量电费 ＝56元
0.5 ＋ （100－）×0.5×120% ＝ 56。
其中电费＝电价×用电量。解得＝40。
例5. （2011河南省10分）某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m
0＜m≤100
100＜m≤200
m＞200
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收费标准（元/人）
90
85
75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
【答案】解：（1）设两校人数之和为a。
若a＞200，则a=18000÷75=240．
若100＜a≤200，则，不合题意。
∴这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人。
（2）设甲学校报名参加旅游的学生有人，乙学校报名参加旅游的学生有人，则
①当100＜≤200时，得，解得。
②当＞200时，得，解得（不合题意，舍去）。
∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）由已知分两种情况讨论，即a＞200和100＜a≤200，得出结论；
（2）根据两种情况的费用，即a＞200和100＜a≤200分别设未知数列方程组求解。
练习题：
1. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元。
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
2. （2011湖南娄底8分）
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为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
3. (2011江苏无锡10分) 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税级
现行征税方法
草案征税方法
月应纳税额x
税率
速算扣除数
月应纳税额x
税率
速算扣除数
1
x≤500
5％
0
x≤1 500
5％
0
2
500
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