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第一讲 立体图形及展开
同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图
例题选讲
例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?
【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!
例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。
练习与思考
1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?
2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条?
3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
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4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。
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5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?
6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?
7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
8.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，
的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。
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第二讲 长方体和正方体的表面积
在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。
例题选讲
例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)
例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?
【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。
练习与思考
1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?
3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。
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4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
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5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?
6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少平方厘米?
7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?
8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。
9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?
第三讲 长方体和正方体的体积
前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。
例题选讲
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例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方
厘米?
【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100÷4—25(平方厘米)，那么长方体底面正方形的边长就是25÷5=5(厘米)，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米)。
例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 新课 标 第 一 网
【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有12×2=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了4×2=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于24—8=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米)，则每块正方体木块的体积是：6×6×6=216(立方厘米)。
例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。
【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘米)，共凿小长方体3个，即4×3=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重复凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是4×4×4—12+1×2=54(立方厘米)。
练习与思考
1． 把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，
求原长方体的体积。
2． 用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是
80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?
3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的
4． 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、
高都是质数，这个长方体的体积是多少?
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5．一个表面积是36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每
个小正方体的体积是多少立方厘米?
6． 一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如
果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。
7． 一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体积。
8．现有一张长4厘米、宽2。厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的
长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好)。请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?
9．一个长、宽、高分别是2l厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?
第四讲 水面高度变化和等积变换
水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲
例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、
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【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米
5÷(25X20)+15
=O．25+15
=15．25(分米)
答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长X|k | B| 1 . c|O |m
多少厘米?
【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20
=5+20
=25(厘米)
答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
【分析与解答】 将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。
解：(9×7×3+5。)÷20
=314÷20
=15．7(厘米)
答：这个长方体的高是15．7厘米。
练习与思考
1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米?
2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。
3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
4．现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?
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5．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。问：这个水箱的容积是多少?
6．在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米?
7．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？
8．一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?
9．现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2．5倍。问：大球体积是小球的多少倍?
10．现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B(如图)，要将容器B的水倒一部分给A，使两容器水的高度相同，那么这时的水深是几厘米?
11．棱长为1米的2100个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高。问：它的长和宽各为多少米?
12．在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的水面就下降4厘米。问：这个铁块的体积是多少立方厘米?
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第五讲 列方程解题
有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比较困难，如果列方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑数量关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。
例题选讲
例1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3)班有多少名学生?
【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出8元表示的总价与每人出6元表示的总价相等，可以列出以下方程式解答。
解：设御苑小学五(3)班有x名学生。新课 标 第 一 网
8x-84=6x+12
8x一6x=12+84
2x=96
x=48
答：御苑小学五(3)班有48名学生。
例2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?
【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为x比较合适呢?我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有x吨，则大米有2x吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x一20)÷4=x÷3再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量关系，即大米的重量等于面粉重量的2倍。我们设有x辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x×2比较两种方法，发现后一种方法列出的方程式比较容易解答。
解：设有x辆卡车。
4x+20—3z×2
4x+20=6x
x=10
(4+3)×10+20=90(吨)
答：粮库里原来有大米和面粉共90吨。
练习与思考
1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？
2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。
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3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有多少人?
4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时，20千米，水流速度是每小时5千米。请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?
5.4个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。问：年龄最大的人是多少岁? w W w .X k b 1.c O m
6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。
7.甲每分钟走‘50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地出发，丙从B地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A、B两地的距离。
8.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册?
9.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73．5分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?
10.如图所示的是由九个正三角形拼成的六边形，其中最小的正三角形(图中有阴
影的小三角形)的边长为1，求此六边形的周长。
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第六讲 假设法解题
“假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。
例题选讲
例1:有5元和10元的邮票共20张，总面值125元。问：5元的和10元的邮票各多少张?【分析与解答】假设20张邮票都是10元的，总面值应该是10×20一200(元)，而实际上只有125元，实际比假设少200—125—75(元)，仔细分析一下为什么比假设少75元呢?原因就是把5元的邮票当作10元算的、，每张就多算10-5=
5(元)，因此可以求出5元的邮票张数75÷5=15(张)则10元的邮票张数为20—15=5(张)。
解：(10×20—125)÷(10一5)
=75÷5=15(张)……5元的邮票张数
20-15=5(张)……10元的邮票张数
答：5元的邮票15张，10元的邮票5张。
请同学想想如果假设2张邮票都是5元的．应该如何解答呢?
例2:中央百货公司委托搬运公司送1000只茶杯，双方签订合同每只运费是O.3元如果打破1只，不但不付运费，而且还要照价赔偿1．5元。结果搬运公司共得运费291元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯?
【分析与解答】 假设在搬运过程中没有茶杯被打破，那么应该得运费O．3 x 1000=300(元)，而实际上却少得了运费(300—291)=9(元)，原因是打破了几只茶杯，每打破1只不但拿不到运费，还要赔偿，所以打破1只就损失：0．3+1．5=1．8(元)，因此在搬运过程中打破了9÷1．8=5(只)。
解：(O．3X1000—291)÷(O．3+1．5)
=9÷1．8
=5(只)
答：在搬运过程中打破了5只茶杯。
练习与思考
1．笼中共有鸡兔100只，鸡兔共有280只脚。问：鸡兔各有多少只?
2．某搬运站为某商店运800只花瓶，运费为每只3元，如果损坏一只，不但不给运费还要照价赔偿5元，结果搬运站共得运费2352元。问：搬运公司在搬运过程中打破几只花瓶?
3．松鼠爸爸采松子,晴天可以采30个,雨天只能采20个，它一连几天共采了240个松子，平均每天采24个。问：这几天当中有几个晴天?几个雨天?
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4．甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次扣6分，两人各投l0次，共得152分，其中甲比乙多16分。问：甲、乙两人各投中几次？
5．蜘蛛有8只脚，没有翅膀，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀，现在这三种小动物共78只脚，13对翅膀。问：每种小动物各有几只?
6．甲仓库存粮是乙仓库的2倍，甲仓库每天运出40吨，乙仓库每天运出30吨，若干天后，乙仓库的粮食运完了，甲仓库还有80吨。问：甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨?
7．一堆硬币：面值为1分、2分、5分三种，其中1分的个数是2分的ll倍，如果这堆硬币共1元，那么5分硬币有多少个?
8．某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道。评分标准是：答对l题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。
9．紫金小学买来单价分别是3元、4元、5元的奖品共200份，共花去780元，其中4元和5元的奖品份数相同。问：三种奖品各买了多少份?
10．有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个，取出其中两份，将它们三等分后还剩2个，再取出两份，将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个?
第七讲 代换法解题
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在一些较复杂的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未知量，从而使复杂的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。
例题选讲
例1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格?
【分析与解答】这道题条件比较多，我们把条件摘录如下，列出等式：1个足球：2个篮球，1个足球=3个排球，一个足球=1个篮球+1个排球+1个垒球，由此可以推出2个篮球=3个排球，即1个篮球：1．5个排球，又1个篮球：1个排球+1个垒球，所以1个垒球一O．5个排球，即2个垒球=1个排球，因此1个足球=2×3=6(个)垒球。
例2:5只同样的红球和18只同样的绿球共重396克，已知1只红球和3只绿球的重量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克?
【分析与解答】摘录条件：(1)5只红球+18只绿球=396，(2)1只红球=3只绿球，由(2）可得5只红球=15只绿球，因此用15只绿球代替（1）中5只红球可得15只绿球+18只绿球=396，即33只绿球=396，所以每只绿球=396÷(15+18)=12(克)，每只红球的重量=12×3=36(克)。
同学们想一想用几只同样的红球可以代换18只绿球，又如何计算呢?
例3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2倍大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三人年龄之和是109岁。问：三人各几岁?
【分析与解答】摘录条件(1)甲=2乙+3，(2)乙=2丙-2，由(2)可得2乙=4丙-4，又根据(1)可得甲=4丙=1，如果甲正好是丙的4倍，乙正好是丙的2倍，那么年龄和应是(109+l+2)=112(岁)，也就相当于丙的(4+2+1)倍，因此丙的年龄=112÷7=16(岁)。乙的年龄：16X2—2=30(岁)，甲的年龄=30×2+3=63(岁)。
练习与思考
1.2只红球与4只蓝球的重量相等，3只蓝球的重量等于1只红球加1只黑球的重量，那么几只黑球的重量等于3只红球加4只蓝球的重量?
2.百货商店运来400双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱中，如果2个纸箱同1个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋?
3.有红、黄、蓝三色笔共94枝，已知红色笔比黄色笔的2倍少2枝，黄色笔比蓝色笔的2倍多4枝，求三色笔各多少枝?
4.一批货物，如果用大号集装箱要20只箱子，如果用小号集装箱装，要25只箱子，已知大号箱比小号箱可多装货物200千克，求这批货物重多少千克?
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5.学校图书馆购买5本科技书和3本文学书共用去147．5元，如果用1本文学书换回2本科技书，那么还要用去7．3元。问：科技书和文学书每本的价格各是多少元?
6.甲、乙、丙、丁四个数的和是325，如果甲加上lO，乙减去5，丙乘以2，丁除以3，那么四个数恰好相等，求丁数。
7.甲、乙两数之差是17．82，如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲、乙两数分别是多少?
8.用两台抽永机抽水，甲抽水机抽6小时，乙抽水机抽8小时，共抽水624立方米。已知甲抽水机5小时的抽水量等于乙抽水机2小时的抽水量。问：甲乙两台抽水机每小时各抽水多少立方米?
9.用3个空啤酒瓶可换一瓶啤酒王强买了10瓶啤酒，他最多可以喝到多少瓶啤酒?张师傅和李师傅共同加工1300个零件，张师傅先做6天。再由李师傅做4天，就完成了任务。如果张师傅先做4天，则李师傅再做7天也能完成任务。问：李师傅每天加工多少个零件?
10.运动会把一笔奖金分为金、银、铜三等，已知每个金牌奖金是每个银牌奖金的，2倍，每个银牌奖金是每个铜牌奖金的2倍，如果评出金牌、银牌、铜牌奖各两名，那么每个金牌奖金是30.8万元，如果评出一个金奖、两个银奖、三个铜奖，那么金奖的奖金是多少万元?
第八讲 消去法解题
有些较复杂的应用题，给出了两个或两个以上的未知量，在解题时除了运用前一讲代换法来解答，还可以运用另一种方法——消去法。消去法解题是指在求多个未知量时，通过比较已知条件，分析对应未知数量的变化情况，设法消去其中一个未知量，使复杂问题简单化。
例题选讲
例1:
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妈妈第一次买了3千克苹果和5千克桔子，共用去14．5元；第二次又买了3千克苹果和7千克桔子，共用去18．5元。苹果和桔子的单价各是多少元?【分析与解答】根据已知条件写出下列数量关系式：
3千克苹果的价格+5千克桔子的价格=14．5元①
3千克苹果的价格+7千克桔子的价格=18．5元②
比较①、②两个等式，我们可以看出，14．5元与18．5元的差价正好是(7—5)千克桔子的价格。因为两次买的苹果重量相同，根据这个条件，在解答时可以把3千克苹果的价格消去，先求桔子的价格，再求苹果的价格。
解：(18．5—14．5)÷(7—5)
=4÷2
=2(元)……桔子的单价
(14．5—2×5)÷3
=4．5÷3
=1．5(元)……苹果单价
答：苹果的单价是1．5元，桔子的单价是2元。
例2: 紫金小学买了4个足球和12个篮球，一共用去980元，育才小学买了同样的8个足球和10个篮球，一共用去1 1 90元。每个足球和每个篮球各多少元?
【分析与解答】‘先列出数量关系式。
4个足球的价钱十12个篮球的价钱=980元 ①
8个足球的价钱+10个篮球的价钱=1190元 ②
与例1比较①、②两个等式中没有相同数量的量，这样就不能直接消去其中的一个未知量。那怎么办呢?仔细观察比较①、②两个数量关系式，不难看出②式中足球数量是①式中足球数量的2倍，如果把①式中未知量的数量扩大2倍，问题就迎刃而解了。
解：根据已知条件可得8个足球的价钱+24个篮球的价钱：1960元
(1960一1190)÷(24一lO)
=770÷14
=55(元)……篮球的单价
(980—55×12)÷4
=320÷4
=80(元)……足球单价
答：每个足球80元，每个篮球55元。
练习与思考
1.食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉，一共重400千克，第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?
2.小明和小刚去商店买文具用品，小明买了1枝钢笔和2块橡皮共用去14元，小刚买同样的2枝钢笔和8块橡皮共用去36元。问：钢笔和橡皮的单价各是多少元?，
3.文峰水果超市购买5筐苹果和7筐梨共重135千克，第二天又购买了同样的苹果3筐、梨5筐共重85千克。问：每筐苹果和每筐梨各多少千克?
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4.学校买来5包科技书和7包故事书共620本，6包科技书和3包故事书420本。问：每包科技书和每包故事书各多少本?
5.甲、乙、丙三数，甲、乙两数之和是50,乙、丙两数之和是70，甲、丙两数之和是60。问：甲、乙、丙三数各是多少?
6.商店第一天卖出5件上衣和8条裤子收入1265元，第二天卖出同样的6件上衣和5条裤子共收入1150元。问：每件上衣、每条裤子各多少元?每件上衣比每条裤子贵多少元?
7.7头牛和4只羊每天共吃青草145千克，4头牛和7只羊每天共吃青草130千克。问：每头牛和每只羊每天各吃青草多少千克?
8.小明有4盒奶糖，小刚有3盒酥糖。共有60颗糖，如果小明和小刚对换1盒，则两人手里糖的颗数相等。每盒奶糖和每盒酥糖各有多少颗?
9.体育室有篮球、足球、排球三种球。篮球3个，足球2个，排球1个，共值380元；篮球2个，足球1个，排球3个，共值350元；篮球1个，足球3个，排球2个，共值350元。问：每种球的单价各是多少元?
10.一个水池甲、乙两个水管同时打开，5小时灌满；若甲管开8小时后关闭乙再开3小时也能灌满。如果甲管先开2小时关闭，那么乙管再开几小时才能灌满?
第九讲 作图法解题
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图形具有直观性，用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来，使题目的已知条件和所求问题一目了然，并借助直观的图形进行分析、推理，进而很快找到解决问题的策略。这种方法我们称为作图法解题，特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题，能起到化难为易的作用。
例题选讲
例1:鸡与兔同笼共100只，一共有240只脚鸡与兔各多少只?
【分析与解答】这是鸡兔同笼问题，我们在前几讲已学会用其它方法解答，现在用作图法来解答，让同，学们体会一下这种方法的作用。图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数，宽表示每只鸡与兔的脚的个数。则长就是要求的鸡与兔的只数。仔细观察图2，阴影部分的面积表示鸡与兔多出的脚，它应该等于总面积减空白面积，即240—2 x 100=40(只)，那么阴影部分的长，也就是兔的只数应为40÷(4—2)=20(只)，鸡的只数就是1OO-20=80(只)．
例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，第一次相遇时离A地有90千米，然后各按原速度继续行驶，到达目的地后立即沿原路返回，第二次相遇时离B地70千米处，求A、B两地的路程。
【分析与解答】求A、B两地的路程，题中既没有给出甲、乙
的速度，也没有给出相遇时间，解答比较困难。下面我们借助
线段图来帮助分析。从图上可以看出，甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程，当两车共行驶1个全程时，甲车行驶了90千米。从第一次相遇到第二次相遇，甲、々两车又共行驶了2个全程。因此从出发到第l二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程，那么甲车就行驶了3个90千米，即90×3=270千米，而甲车比全程多行70千米。所以A、B的距离为270—70=200(千米)。
练习与思考
1.有10分和20分的邮票共18张，总面值为2．80元。请问：10分和20分的邮票各有几张?
2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行，第一次两人相遇时离乙地400米。然后两人继续步行，各自到达目的地后立即返回，第二次相遇时离甲地200米，求甲、乙两地的距离。
3.两根同样长的电线,第一根用去60 米，第二根用去20米，剩下的电线，第二根的长度是第一根的3倍。问：原来两根电线各长多少米?(先画图再列式计算)
4.在一个除法算式里，被除除以除数商是25，余数是10，已知被除数、除数、商与余数的和是357，除数是多少?
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5.甲、乙、丙、丁四个数，甲、乙、丙三个数的总和是300，丁数比甲、乙、丙、丁四个数的平均数少30，求丁数。
6.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到达目的地后返回，第二次相遇时离A地25千米。问：A、B两地距离是多少千米?
7.一辆汽车从甲地开往乙地，往返共用20小时，去时用的时间是回来时的1．5倍，去时的速度比回来的速度每小时慢12千米。问：往返共行了多少千米?
8.某单位买单价分别为70元、30元、20元的高、中、低三档皮包共47个，共用了2120元，其中每个30元的中档皮包个数是每个20元的低档包个数的2倍。问：三种皮包各买了多少个？
第十讲 倒推法解题
在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反。其实在数学中，也有许多类似的还原问题。解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案。
例题选讲
例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个?
【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了。曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个。
例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱。
问：开始时三人各有多少元钱?
【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)，
乙：48÷2—24(元)，
丙：48+24+24—96(元)；
第二次在乙给甲、丙添钱之前：
甲：24÷2—12(元)，X|k |B| 1 . c|O |m
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乙：24+12+48===84(元)，
丙：96÷2=48(元)；
第一次在甲给乙、丙添钱之前：
甲：12+42+24—78(元)，
乙：84÷2=42(元)，
丙：48÷2=24(元)。 所以开始时甲有78元，乙有42元，丙有24元。
例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲，最后三人的邮票数相等，三人原来各有多少张邮票?
【分析与解答】此题条件复杂，因此我们可以用列表的方法，从最后的果一步步按每次的变化倒推，这样就容易看清题中的数量关系了。列表如下：
练习与思考
1.张强去银行取款，第一次取了存款的一半多100元，第二次取了余下的一半少50元，第三次取了余下的一半多50元，这时他的存折上还剩下575元。问：张强原来有存款多少元?
新|课 |标 |第 |一| 网
2.书架上有上、中、下三层书，共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层，再从中层拿出与下层同样多的书放进下层，最后从下层拿出与上层现在同样多的书放进上层，这时三层书同样多。问：开始时，上、中、下三层各有多少本书?
3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5，把十位上的5看作7，把百位上的9看作6，结果得出和为775。问：正确的答案应该是多少?
4.有26块砖，兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面，刚摆好砖哥哥赶来了。哥哥见弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问：开始时，弟弟准备挑多少块?
5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶，使乙、丙两瓶的水比原来增加1倍；之后，又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后，再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶，这样倒了三次后，三个瓶中的水一样多。问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?
6.世纪商场里有一批儿童玩具，第一天运出总数的一半少4 个,第二天运出剩下的一半多2个，第三天又运进25个，这时库存儿童玩具45个，世纪商场原来有多少个儿童玩具?
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7.有一堆书，第一次搬一半，第二次般走剩下的一半多3本，第三次搬走剩下的一半少3本，第四次搬走剩下的一半多3本，第五次搬走剩下的一半，最后剩3本。问：原来有多少本书?
8.甲、乙、丙各有若干个橘子。第一次甲给乙、丙橘子，各给与他们原有橘子数量相等的个数；同样，第二次乙给甲、丙橘子，各给与他们现有橘子数量相等的个数；第三次丙给甲、乙橘子，同样各给与他们现有数量相等的个数。最后三人都各有48个橘子，那么开始时三人各有多少个橘子?
9.一种有益的菌种每小时可增长。l倍，现有一批这样的细菌：10小时后达到100万个，当它们达到25万个时，经历了多少长时间?
第十一讲 分数大小的比较新 课 标 第 一 网
在分数计算中经常要比较分数的大小，同学们已经知道根据分数的基本性质，可以将两个异分子分母的分数变为分子相同或分母相同的情况进行比较。但在有些时候比较两个分数的大小，要根据分数的具体情况采取灵活的方法来比较它们的大小，这一讲我们就来研究比较分数大小的方法。
例题选讲
例1:比较 、和，这三个分数中最大的是哪一个分数?最小的是哪一个分数?【分析与解答】仔细观察这三个分数，分子、分母都不相同，如果把它们通分比较当然可以，但较麻烦。再看分5子，都是60的约数，因此可以根据分数的基本性质将这三个分数化成分子都是60的分数，再进行比较
解：=，=，=
因为 > > ，所以 > > ，即 最大， 最小。
例2:比 大，比小，分子为17的分数有多少个?
【分析与解答】根据题意，将题目转化成如下移式 ，而> ，所以>。
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练习与思考
1．把下面各组中的分数按从大到小的 顺序排列：
、、、 新 课 标 第 一 网
2．已知 > > ，（ ）中可以填人的最大整数是多少?最小整数是多少?
3．比较下列两个分数的大小：和。
4．比较和的大小。
5．写出三个大于而小于的最简真分数。
6．在分数、、、中，最大的是哪一个分数?最小的是哪一个分数?
7．把下列分数按从小到大的 顺序排列：
、、、、
8．比较下列两个分数的大小：
（1）和 （2）和
9．在下列方框中填上适当的自然数，使不等式成立。
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