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金台区2013届九年级第一次质量检测试题（卷）
数 学 试 卷 2013. 4
命题人：（教研室） 检测人：龙泉中学）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每题3分，计30分;每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列四个数中最小的一个数是（ ）
A．-2 B．-0.1 C．0 D．|-1|
第2题图
2．图中的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3-a2=a C．a3·a2=a6 D．a3÷a2=a
4．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量(千瓦·时)
120
140
160
180
200
户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
5．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．若∠1=68°，则∠2=（ ）
A．112° B．124° C．128° D．140°
第5题图 第7题图
6．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ）
A．平形四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
7．如图，在平面直角坐标系中，有一条通过点（-3，-2）的直线L，若四点（-2 , a）、（0 , b）、（c , 0）、（d , -1）均在直线L上，则下列数值的判断哪个是正确的（ ）
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A．a=3 B．b＞-2 C．c＜-3 D．d=2
8．如图是跷跷板横板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（ ）
A．h2＝2h1 B．h2＝1.5h1 C．h2＝h1 D．h2＝0.5h1
9．如图，在半径为5
的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
第8题图 第9题图
10．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x>0时，y随x增大而增大
九年级第一次质量检测试题（卷）
数 学 试 卷 2013. 4
命题人：李丹（教研室） 检测人：史晓锋（龙泉中学）
题号
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
23
24
25
得分
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
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得分
评卷人
二、填空题（每小题3分，计18分）
11．计算：
12．分解因式：
13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥ AB，垂足为 E，若∠ADC =120°，则∠AOE=
B．用科学计算器计算：12 ×tan13°= （结果精确到0.01）．
14．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线>0)的图象相交于点A、
B,设点A的坐标为(),那么长为，宽为的矩形面积和周长分别为 ．
15．某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工 个零件.
16．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、 PB、 PC、 PD, 得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4、给出如下结论：①S1＋S4 =S2＋S3 ; ②S2＋S4 =S1＋S3 ; ③若S3=2S1，则S4=2S2 ; ④若点P在矩形的对角线BD（不含B、D两点）上，则S1=S2，其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
第13题图 第14题图 第16题图
得分
评卷人
三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出过程）
17．（本题满分5分）解不等式组：
18．（本题满分6分）已知：如图，□ABCD中，点E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
求证：AB=AF．
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第18题图
19．（本题满分7分）为了了解青少年形体情况，现随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况.我们对测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上不良姿势，以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整；
（2）请问这次被抽查形体测评的学生一共是多少人?
（3）如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，坐姿和站姿不良的学生有多少人？
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20．（本题满分8分）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭。某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28º≈0.47，cos28º≈0.88，tan28º≈0.53）．
第20题图
21．（本题满分8分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本（万元/吨）与生产数量（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：总成本=每吨的成本×生产数量）
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第21题图
22.（本题满分8分）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几，棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度.棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率.（用列表或画树状图的方法求解）
第22题图
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第23题图
23．（本题满分8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。
（1）求证：AE是⊙O的切线。
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm,求BD的长。
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24．（本题满分10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.
（1）求a的值；
（2）求A，B两点的坐标;
（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上？请说明理由.
第24题图
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25．（本题满分12分）如图，正三角形ABC的边长为．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E´F´P´N´，且使正方形E´F´P´N´的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E´F´P´N´的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
图① 图②
2013年金台区九年级教学质量检测（一）
数学试卷答案与评分标准
一、选择题
1. A 2. C 3. D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 9.B 10.D
二、填空题
11. －7 12.m(n＋3) 2 13. A. 60° B. 2.77 14. 4,12 15. 40 16.②④
三．解答题
17.解：由①得：4x-x＞3
3x＞3
x＞1 （2分）
由②得：x-2x＜-1-4
-x＜-5
x＞5 (4分)
所以原不等式组的解是x＞5 （5分）
18.证∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD．
∴∠F=∠2, ∠1=∠D． （2分）
∵E为AD中点，
∴AE=ED. （3分）
在△AEF和△DEC中
∴△AEF≌△DEC． （5分）
∴AF=CD.
∴AB=AF. （6分）
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19.（1）图略 （3分）
（2）100÷20％=500（名）
答：这次被抽查形体测评的学生一共是500名. （5分）
（3）5万×（20％＋30％）=2.5万5
答：全市初中生中，坐姿和站姿不良的学生有2.5万人。 （7分）
20. 解：∵AC∥ME ∴∠CAB=∠AEM （1分）
在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m
∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77m （3分）
∴BD=BC-CD=4.77-0.5=4.27m （4分）
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD =90°
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC =90°
∴∠BDF=∠CAB=28°(6分)
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 m （7分）
答：坡道口的限高DF的长是3.8m。 （8分）
21.解：（1）设y与x的函数表达式为y=ax＋b(a≠0)（1分）
∵函数的图象经过（10，10）和（50，6）两点，则
10=10a＋b,
6=50a＋b.
解之得，a=－0.1，b=11 （3分）
该函数的表达式为y=－0.1x＋11.（4分）
(2)由题意知x(－0.1x＋11)=280,即x2－110x＋2800=0 （5分）
解之得x1=40,x2=70,因为10≤x≤50，所以x=40 （7分）
故当生产这种产品的总成本为280万元时，可以生产该产品40吨。（8分）
22. 解：画树形图：
（3分）
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种，
摸出的两个小球标号之和是3的占2种，
摸出的两个小球标号之和是4的占3种，
摸出的两个小球标号之和是5的占两种，
摸出的两个小球标号之和是6的占一种； （5分）
所以棋子走E点的可能性最大 （6分）
棋子走到E点的概率==． （8分）
23. 证明：（1）连结OA
∵AD平分∠BDE
∴∠ADE＝∠ADO
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∵OA=OD
∴∠OAD＝∠ADO
∴∠ADE＝∠OAD (2分)
∴OA∥CE
∵AE⊥CD
∴AE⊥OA
∴AE是⊙O的切线 （4分）
（2）∵BD是⊙O的直径 ∴∠BCD＝90°
∵∠DBC=30° ∴∠BDE＝120°
∵AD平分∠BDE ∴∠ADE＝∠ADO=60°
∵OA=OD ∴△OAD是等边三角形 （6分）
∴AD=OD=BD
在Rt△AED中，DE=1，∠EAD=30°
∴AD=2 ∴BD=4 （8分）
24. 解：（1）抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，
∴抛物线顶点坐标为：（1，﹣+a）
∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上
则将顶点坐标代入y=﹣2x得
﹣+a=﹣2，∴a=﹣； （2分）
（2）由（1）写出抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣
∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A、B，
∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）； （5分）
（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣
∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，DE= （7分）
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∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC ∴△AOC≌△BDE
∴AO=BE=1， OE=OB-BE=2
∴D点的坐标为：（2，）， （9分）
则点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），
代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．（10分）
25.解：（1）如图①，正方形即为所求． （2分）
（2）设正方形的边长为．
∵△为正三角形，
∴．
∴． （5分）
∴，即．(6分)（没有分母有理化也对，也正确）
（3）如图②，连接，则．
设正方形、正方形的边长分别为，
它们的面积和为，则，．
∴．
∴． （8分）
延长交于点，则．
在中，．
∵，即．
∴ⅰ）当时，即时，最小．
∴． （10分）
ⅱ）当最大时，最大．
即当最大且最小时，最大．
∵，由（2）知，．
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∴．
∴． （12分）
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