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九年级数学试题（一）
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．-2的相反数是（ ）
C
A
E
B
F
D
第2题
A. B. C. D.
2．如图，直线AB、CD相交于点E，DF//AB．若，
则等于（ ）
A．70° B．80°
C．90° D．100°
3．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4．下列事件为不可能事件的是( )．
A. 某射击运动员射击一次，命中靶心
B. 掷一次骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 经过城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
5．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．如图，下列四个几何体中主视图与其它三个不同的几何体是（ ）.
7．化简结果为（ ）
A． B． C． D．
8．已知||＝3，||＝7，且 ＜0，则的值等于 ( )
A．10 B. 4 C. D. 4或
第9题图
9. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD
于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（ ）
A． B. C. D.
10. 如图，等边三角形OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，则点B′的坐标为（ ）
第11题图
第12题图
第10题图
A．（，） B．（，） C．（, ） D．（，）
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11．已知一次函数的图象，如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，PC是⊙O的切线，切点为C，∠ACP =55°，∠BAC那么等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
A B C D
13. 已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
14. 如图，等边△ABC的边长为4，M为BC上一动点（M不与B、C重合），若EB=1，∠EMF=60°，点E在AB边上，点F在AC边上．设BM=x，CF=y，则当点M从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（ ）
第15题图
A B C D
15. 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE
与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．下列结论：
①AE=CG,②AE⊥CG,③DM∥GE，④OM=OD，⑤∠DME=45°。
正确结论的个数为（ ）
座号
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷 非选择题（75分）
题号
一
二
三
总分
22
23
24
25
26
27
28
得分
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
16．分解因式：2mx22m= .
17．若关的方程有一根为3，则=_____
18．商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：
领口尺寸(单位：cm)
38
39
40
41
42
件数
1
5
3
3
2
则这14件衬衫领口尺寸的众数是________cm，平均数是________cm．
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19．分式方程的解是 .
20．如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，BD的中点，
连接EF．若EF＝3，则CD的长为
21. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不
同的点，过作于，
于，则
的值为_______________.
三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分
评卷人
22．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中为整数且.
得 分
评卷人
A
C
B
D
E
F
G
23．（1）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
求证：AE=BF
（2）如图，□ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．若AB=3,BC=5，求EG的长。
A
G
E
D
F
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B
C
得 分
评卷人
24. 某中学组织全校4 000名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图6的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
分组
频数
频率
50.5~60.5
0.05
60.5~70.5
70.5~80.5
80
80.5~90.5
0.26
90.5~100.5
148
0.37
合计
1
图6
频数
160
140
120
100
80
60
40
20
0
成绩/分
50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？
（4）学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校4 000名学生中约有多少名获奖？
得 分
评卷人
25. 庆华中学为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需310元．购买2个足球和5个篮球共需500元．
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)根据庆华中学的实际情况，需从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共100个．要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，这所中学最多可以购买多少个篮球?
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得 分
评卷人
26．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
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得 分
评卷人
27.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，
AB＝6．在底边AB上有一动点E，满足∠DEQ=120°，EQ交射线DC于点F．
(1)求下底DC的长度；
(2)当点E是AB的中点时，求线段DF的长度；
(3)请计算射线EF经过点C时，AE的长度．
Q
A
B
D
C
(备用图)
得 分
评卷人
28.在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
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①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
A
P
x
y
K
O
图1
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九年级数学参考答案
1-15：ABACD DBDBA DACAC
16、2m(x+1)(x-1)
17、-3
18、39；40
19、3
20、6
21、2013
22、（1）2（3分）
（2）（4分）
·÷
＝·÷
＝··(a＋1)(a－1)
＝a(a＋1)
∵ a≠±1、－2时分式有意义，
又 －3＜a＜2且a为整数，
∴ a＝0.
∴ 当a＝0时，原式＝0×(0＋1)＝0
23、（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝DA、AB⊥AD。
∵BF⊥AG、DE⊥AG，∴∠AFB＝∠AED=90°
又∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE
∴△ABF≌△DAE
∴AE＝BF
（2）解：∵BG平分∠ABC
∴∠ABG=∠CBG
∵□ABCD
∴AD∥BC
∴∠AGB=∠CBG
∴∠ABG=∠AGB
∴AG=AB=3
同理：DE=DC=3
∴EG=AG+DE-AD=1
分组
频数
频率
50.5～60.5
20
0.05
60.5～70.5
48
0.12
70.5～80.5
80
0.2
80.5～90.5
104
0.26
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90.5～100.5
148
0.37
合计
400
1
24、（1）
（2）
（3）80.5～90.5；
（4）估计全校4 000名学生中获奖的约有4000×0.37=1480人．
25、【答案】解：设一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据题意得
，解得，
∴一个足球50元、一个篮球80元；
（2）设买篮球m个，则买足球（100-m）个，根据题意得
80m+50(100-m)≤6000，解得x≤，
∵m为整数，∴m最大取33
∴最多可以买33个篮球
26解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；
（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴=1，
解得k=2，
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∴反比例函数解析式为y=，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴=n，
解得n=；
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=（2﹣t）2+12，
解得t=，
∴OG=t=．
(第三问若改为：求折痕GH长，如何求解？一定要给学生讲一讲)
27、解：
（1）DF=7
（2）解：如图1，过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG＝3，
∴EG＝AD＝，
∴∠DEG＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴tan60°＝，
解得GF＝3，
∴DF＝6；
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(3)如图2所示：
过点B作BH⊥DC，，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH＝AD＝，
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BCH＝60°，
∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，
设AE＝x，则BE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝，
在Rt△EFM中，EF＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠B＝120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得x＝2或5．
∴AE=2或5．
28、【答案】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴ PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．……………………2分
O
A
P
x
y
B
C
图2
G
M
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=．
sin∠PBG=，即．
解之得：x=±2（负值舍去）．
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∴ PG=，PA=BC=2．
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．
∴ A（0，），B（1，0） C（3，0）．……………………5分
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a=， b=， c=．
∴二次函数关系式为：．……………………7分
②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：
解之得：u=， v=．
∴直线BP的解析式为：．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．
∴0=．
∴．
∴直线CM的解析式为：．
解方程组：
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得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
解法二：∵，
∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴点M的纵坐标为．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4，）符合要求．
点（7，）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴点M的纵坐标为．
即．
解得：（舍），．
∴点M的坐标为（4，）．
点（7，）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
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