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2013-2014学年第一学期高三9月月考题
数学试题
（考查时间：90分钟）（考查内容：全部）
一、选择题：（每小题6分）
1. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
2．若复数的实部与虚部相等，则实数( )
A. B. C. D.
3从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有
A.种 B. C.种 D.种
4 （）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A. 120 B. 210 C. 252 D. 45
5设不等式组表示的平面区域为.若圆 不经过区域上的点,则的取值范围是
A. B. C. D.
6、已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．
A. B. C. D.
7函数的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
8. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的的值之和是
A.13 B.18 C.21 D.26
9.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是
A. B.
C.是奇函数 D.的单调递增区间是
10.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：，若
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，则事件“”的概率是（ ）
A． B. C. D.
11. 已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
12．已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
二、填空题（每小题6分）
13. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为___ ______.
14．观察下列算式：
， ， ，
，
… … … …
若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．
15. 已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为
16.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，
考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列。其中正确的是_________ .
三、解答题
17.（本题满分12分）已知数列满足，，数列满足.
（1）证明数列是等差数列并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.(本小题满分14分)
现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(I)求该射手恰好命中两次的概率;
(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;
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19. （本题满分14分）
设是抛物线上相异两点，到y轴的距离的积为且．
（1）求该抛物线的标准方程.
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．
20.(本题满分14分)设，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值;
(2) 若，恒成立，求的范围.
(3)求证：
2013-2014学年第一学期高三9月月考题
数学试题答案
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
B
B
D
C
B
C
D
B
A
C
二、填空题
13. 14. 15. 2 16. _①③④_
三、解答题
17.解（1）证明：由，得，
∴ ---------------------2分
所以数列是等差数列，首项，公差为 -----------4分
∴ -----------------6分
（2） -------------------------7分
----①
-------------------②----------9分
①-②得
-----------------------------------11分
------------------------------------------12分
18.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.
由题意知,,
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所以
.…………………………………………………………6分
(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,.
,
,
,……11分
故的分布列是
0
1
2
3
4
…………………12分
所以.………………………14分
19. 解：（1）∵ ·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分
又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2
--------------------------3分
又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．
所以抛物线的方程为: ------------5分
（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a
联立方程组
消去x得y2－2my－2a＝0
∴ ① --------------------------------7分
设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，
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同理可知 ② --------------------------9分
由①、②可得
由题意，Q为线段RT的中点，∴ y3＝2y2，∴b=2a
又由（Ⅰ）知， y1y2＝－4，代入①，可得
－2a＝－4 ∴ a＝2．故b＝4．----------------------11分
∴
∴
.
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值--------------------14分
20.解：(1)-----------------------2分
由题设，
，. -------------------------------4分
(2) ,，，即
设，即.
-------------------------------------6分
①若，，这与题设矛盾.-----------------8分
②若方程的判别式
当，即时，.在上单调递减，
，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分
当时，方程，其根，，
当,单调递增，，与题设矛盾.
综上所述， .------------------------------------------------------------------------10分
(3) 由(2)知,当时, 时,成立.
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不妨令
所以，
----------------------11分
---------------------12分
累加可得
------------------------14分
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