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深圳高级中学2014届高三第一次月考试题
数 学（文科）
2013。09
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知全集，集合，，则集合
A． B． C． D．
2．如果函数上单调递减，则实数满足的条件是（ ）
A. B． C． D．
3．设为等比数列的前项和，已知，，则公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△中，若，，，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设，且，则 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函数，下面结论错误的是
A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数
7．直线与圆的位置关系是 （ ）
A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定
8. 给出如下三个命题：
①若“且”为假命题，则、均为假命题；
②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；
③在中，“”是“”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( )
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A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是
A．，将函数的图像关于轴对称
B．，将函数的图像关于轴对称
C．，将函数的图像关于点对称
D．，将函数的图像关于点对称
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，
11.若数列的通项公式是,则 .
12．若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 .
13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为 ．
14.函数是常数，的部分图象如图所示，则
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三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若,求的值.
16. （本小题满分13分）在中，分别为角的对边，
已知 ，，且.
(1) 求角；(2) 若，的面积，求边的值.
17. （本小题满分13分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
18. （本小题满分14分）设数列，满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
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19. （本小题满分14分）设.
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
.20．（本小题满分14分）设,函数.
（1）讨论函数的单调区间和极值;
（2）已知和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:.
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2014届高三第一次月考试题
数 学（文科）答案
2013。09
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知全集，集合，，则集合
A． B． C． D．
2．如果函数上单调递减，则实数满足的条件是（ ）
A. B． C． D．
3．设为等比数列的前项和，已知，，则公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△中，若，，，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设，且，则 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函数，下面结论错误的是
A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数
7．直线与圆的位置关系是 （ ）
A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定
8. 给出如下三个命题：
①若“且”为假命题，则、均为假命题；
②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；
③在中，“”是“”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( )
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A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是
A．，将函数的图像关于轴对称
B．，将函数的图像关于轴对称
C．，将函数的图像关于点对称
D．，将函数的图像关于点对称
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，
11.若数列的通项公式是,则 .
12．若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 . .
13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为 ．【解】．
14.函数是常数，的部分图象如图所示，则
答案：
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;
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(Ⅱ)若,求的值.
解： (1)由已知,f(x)=
所以f(x)的最小正周期为2,值域为
(2)由(1)知,f()= 所以cos().
所以
16. （本小题满分13分）在中，分别为角的对边，
已知 ，，且.
(1) 求角；(2) 若，的面积，求边的值.
16. 解：(1) 依题知得 即 ……3分
也就是 ，又，所以 ………………………6分
(2) ，且，所以 ……………8分
又得.
17. （本小题满分13分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。
解：（I）由，（*）
因为直线与抛物线C相切，所以解得b=-1。
（II）由（I）可知，
解得x=2，代入故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，
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所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即
所以圆A的方程为
18. （本小题满分14分）设数列，满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：（1）由题意得：
＝ ； …3分
由已知得公比，
…6分
（2），
∴当时，是增函数。 又， 所以当时，
又，所以不存在，使。
19. （本小题满分14分）设.
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
.解：（1）已知，
又在处取极值，
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则，又在处取最小值-5.
则，
（2）要使单调递减，则
又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：
b-a为区间长度。又
又b-a为正整数，且m+n0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 函数的一段图象是
8. 设函数 其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9. 已知函数，则 .
10. 已知，则_____________.
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11. 曲线所围成的封闭图形的面积为 ．
12. 已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是___.
13. 设，且，则 _________.
14. 若关于的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）确定函数在上的单调性并求在此区间上的最小值.
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝Asin，x∈R，A＞0，0＜φ＜，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．
17. （本小题满分14分）
已知等比数列中，，，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求的最大值及相应的值．
18. （本小题满分14分）
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设二次函数满足条件：（1）；（2）函数在
轴上的截距为1，且.
(1)求的解析式;
(2)若的最小值为,请写出的表达式;
(3)若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.
19.（本题满分14分）
已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.
（1）求 的解析式
（2）若常数，求函数在区间上的最大值.
20．（本小题满分14分）
已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. 注：是自然对数的底数
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深圳市高级中学2014届第一次月考
数学（理）答卷
一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
选 项
二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）
9． 10． 11．
12． 13． 14．
三、解答题：（共6小题，共计80分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
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16.
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17.
18.
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19.
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20.
深圳市高级中学2014届第一次月考
数学（理）试题 答案
注：请将答案填在答题卷相应的位置上
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知全集，集合，则C
A. B. C. D.
2. 如果函数上单调递减，则实数满足的条件是（ A ）
A． B． C． D．
3. 下列函数中，满足的是C
A． B． C． D．
4. 已知函数，下面结论错误的是C
A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数
5. 给出如下四个命题：
①若“且”为假命题，则、均为假命题；
②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；
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③在中，“”是“”的充要条件。
④命题 “”是真命题. 其中正确的命题的个数是( D )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定义行列式运算＝a1a4－a2a3；将函数f(x)＝的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( C)
A. B. C. D.
7. 函数的一段图象是B
8. 设函数 其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是 D
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A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9. 已知函数，则 .
10. 已知，则_____________.
11. 曲线所围成的封闭图形的面积为 ．
12. 已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是
________.（—∞，-2）
13. 设，且，则 _________
14. 若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）确定函数在上的单调性并求在此区间上的最小值.
15解 ，…………3分
则 的最小正周期是；……………4分
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16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝Asin，x∈R，A＞0，0＜φ＜，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．
解析：(1)由题意得T＝＝6………………………….2分
因为P(1，A)在y＝Asin的图象上，所以sin＝1.
又因为0＜φ＜，所以φ＝…………………………6分
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．
由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得
cos ∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.
又A＞0，所以A＝.--------------------------------12分
17. （本小题满分14分）
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已知等比数列中，，，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求的最大值及相应的值．
1．解：(Ⅰ)， ，所以：． …（3分）
以为首项． ……………（5分）
所以 通项公式为：． ……（7分）
(Ⅱ)设，则． …………………（8分）
所以是首项为6，公差为的等差数列． ………………（10分）
=． …………（12分）
因为是自然数，所以或时，最大，其最值是21． ……（14分）
18. （本小题满分14分）
设二次函数满足条件：（1）；（2）函数在
轴上的截距为1，且.
(1)求的解析式;
(2)若的最小值为,请写出的表达式;
(3)若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.
解: (1)…………………………4分
(2) ----------------10分
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(3) -----------------14分
19.（本题满分14分）
已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.
(1) 求
（2）若常数，求函数在区间上的最大值.
解析：由f(0)＝0得c＝0，………………….2分
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，………………………4分
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由[－f(x)]dx＝得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2………………………………8分
（2）由（1）知.
的取值变化情况如下：
2
单调
递增
极大值
单调
递减
极小值
单调
递增
又,
①当时, ；……………11分
②当时,
综上可知 ………………………14分
20．（本小题满分14分）
已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围.
注：是自然对数的底数
. 解：(Ⅰ) 若，则.
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当时，，
，
所以函数在上单调递增；
当时，，
.
所以函数在区间上单调递减，
所以在区间上有最小值，又因为，
，而，
所以在区间上有最大值………………………………….5分
(Ⅱ) 函数的定义域为．
由，得． （*）
（ⅰ）当时，，，
不等式（*）恒成立，所以；……………………………………….7分
（ⅱ）当时，
①当时，由得，即，
现令， 则，
因为，所以，故在上单调递增，
从而的最小值为，因为恒成立等价于，
所以；………………………………………………….11
②当时，的最小值为，而，显然不满足题意……….13分
综上可得，满足条件的的取值范围是. …………………………………14分
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