山东省2014届理科数学一轮复习试题选编33：抛物线(含解析).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 山东省2014届理科数学一轮复习试题选编33：抛物线 一、选择题 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为 （　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】抛物线的准线为,双曲线的两渐近线为和,令,分别解得,所以三角形的低为,高为3,所以三角形的面积为,选 D． ‎ ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知抛物线y2 =4x的焦点为F,准线为交于A,B两点,若△FAB为直角三角形,则双曲线的离心率是 （　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合,抛物线的准 线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且,则A点的横坐标为 （　　）‎ A． B．‎3 ‎C． D．4 ‎ ‎【答案】B 抛物线的焦点为,准线为.双曲线的右焦点为,所以,即,即.过F做准线的垂线,垂足为M,则,即,设,则代入,解得.选 B． ‎ ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知F是抛物线的焦点,A,B为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A抛物线的焦点为,准线方程为.因为|AF|+|BF|=3,所以设A到准线的距离为,B到准线的距离为,则,则线段AB的中点M到准线的距离为,所以线段AB的中点M到y轴的距离为,选 （　　）‎ A． ‎ ．（2009高考(山东理)）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B．‎5 ‎C． D． ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,‎ 所以,,故选 D．‎ 答案: D．‎ ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线上一点,且在第一象限,,垂足为,,则直线的倾斜角等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 抛物线的焦点坐标为,准线方程为.由题意,则,即,所以,即,不妨取,则设直线的倾斜角等于,则,所以,选 B． ‎ ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 （　　）‎ A．-4 B．‎4 ‎C．-2 D．2‎ ‎【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为.由双曲线的方程可知,所以,即,所以右焦点为,所以,选 B． ‎ ．（2013山东高考数学（理））已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为.抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.,所以在处的切线斜率为,即,所以,即三点,,共线,所以,即,选 D． ‎ ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知抛物线y2=4x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐 近线方程为y=2x,则双曲线的焦距等于 （　　）‎ A． B．‎2‎ C． D．2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】B 【解析】∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,∴a=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴b=2,∴c==,∴双曲线的焦距为2. ‎ 二、填空题 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设F是抛物线C1:的焦点,点A是抛物线与双曲线C2:的一条渐近线的一个公共点,且轴,则双曲线的离心率为 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】抛物线的焦点为.双曲线的渐近线为,不妨取,因为,所以,所以,不妨取,又因为点也在上,所以,即,所以,即,所以,即,所以双曲线的离心率为. ‎ ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知F是抛物线的焦点,M、N是该抛物线上的两点,,则线段MN的中点到轴的距离为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】抛物线的焦点为,准线为.,过M,N分别作准线的垂线,则,所以,所以中位线,所以中点到轴的距离为. ‎ ‎ ‎ ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）给出下列四个命题:①若直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则的最小值为2;②双曲线的离心率为;③若⊙⊙,则这两圆恰有2条公切线;④若直线与直线互相垂直,则其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)‎ ‎【答案】②③ ‎ ．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则的最小值是____.‎ ‎【答案】4 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点,且渐近线方程为,则双曲线方程为___________________.‎ ‎【答案】 ‎ 抛物线的焦点坐标为,即.双曲线的渐近线方程为,即,所以双曲线的方程为. ‎ ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）若圆以抛物线的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆 的标准方程是________________;‎ ‎【答案】 ‎ ‎【 解析】抛物线的焦点为,准线方程为,则圆心到准线的距离为2,则圆的半径为,所以圆的标准方程为. ‎ ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是_________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当时,的最小值是____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】当时,,所以,即,因为,所以点A在抛物线的外侧,延长PM交直线,由抛物线的定义可知,当,三点共线时,最小,此时为,又焦点坐标为,所以,即的最小值为,所以的最小值为. ‎ 三、解答题 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）‎ 已知F1,F2分别为椭圆的上下焦点,其F1是抛物线的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF2|=.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(1)试求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)与圆相切的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆上一点P满足,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（2012年山东理）(21)在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上 位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线 的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点若存在,求出点的坐标;‎ 若不存在,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与 圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.‎ ‎【答案】(21)解:‎ ‎(Ⅰ)依题线段为圆的弦,由垂径定理知圆心的纵坐标,‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 又到抛物线准线的距离为,所以. ‎ 所以为所求.‎ ‎(Ⅱ)假设存在点,,又,,设,.变形为 因为直线为抛物线的切线,故,解得,‎ 即,.‎ 又取中点,,由垂径定理知,‎ 所以,,,所以存在,.‎ ‎(Ⅲ)依题,,圆心,,圆的半径,‎ 圆心到直线的距离为,‎ 所以,.‎ 又联立,‎ 设,,,,则有,. ‎ 所以,.‎ 于是,‎ ‎ ‎ 记,‎ ‎,所以在,上单增,‎ 所以当,取得最小值,‎ 所以当时,取得最小值.‎ ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设是抛物线上相异两点,到y轴的距离的积为且.‎ ‎(1)求该抛物线的标准方程.‎ ‎(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解:(1)∵ ·=0,则x1x2+y1y2=0, ‎ 又P、Q在抛物线上,故y12=2px1,y22=2px2,故得 ‎ ‎ ‎ +y1y2=0, y1y2=-4p2 ‎ ‎ ‎ 又|x1x2|=4,故得4p2=4,p=1. ‎ 所以抛物线的方程为: ‎ ‎(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a ‎ 联立方程组 ‎ 消去x得y2-2my‎-2a=0 ‎ ‎∴ ① ‎ 设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x3,y3), ‎ 同理可知, ‎ ‎ ② ‎ 由①、②可得 ‎ 由题意,Q为线段RT的中点,∴ y3=2y2,∴b=‎2a分 ‎ 又由(Ⅰ)知, y1y2=-4,代入①,可得 ‎ ‎-2a‎=-4 ∴ a=2.故b=4 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 当n=0,即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值 ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知定点(p为常数,p>O),B为z轴负半轴七的一个动点,动点M使得,且线段BM的中点在y轴上 ‎(I)求动点脚的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点 T(4,0),当p=2时,求的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知抛物线的焦点为F2,点F1与F2关于坐标原点对称,直线m垂直于x轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P,Q且.‎ ‎(I)求点T的横坐标;‎ ‎(II)若以F1,F2为焦点的椭圆C过点.‎ ‎①求椭圆C的标准方程;‎ ‎②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,设,若的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由题意得,,设,, ‎ 则,. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由,得即,① ‎ 又在抛物线上,则,② ‎ 联立①、②易得 ‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意得, ‎ 设椭圆的标准方程为, ‎ 则 ③ ‎ ‎ ④ ‎ 将④代入③,解得或(舍去) ‎ 所以 ‎ 故椭圆的标准方程为 ‎ ‎(ⅱ)方法一: ‎ 容易验证直线的斜率不为0,设直线的方程为 ‎ 将直线的方程代入中得: ‎ 设,则由根与系数的关系, ‎ 可得: ⑤ ‎ ‎ ⑥ ‎ 因为,所以,且. ‎ 将⑤式平方除以⑥式,得: ‎ ‎ ‎ 由 ‎ 所以 ‎ 因为,所以, ‎ 又,所以, ‎ 故 ‎ ‎, ‎ 令,所以 所以,即, ‎ 所以. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 而,所以. ‎ 所以 ‎ 方法二: ‎ ‎【D】1．)当直线的斜率不存在时,即时,,, ‎ 又,所以 ‎ ‎【D】2．)当直线的斜率存在时,即时,设直线的方程为 ‎ 由得 ‎ 设,显然,则由根与系数的关系, ‎ 可得:, ‎ ‎ ⑤ ‎ ‎ ⑥ ‎ 因为,所以,且. ‎ 将⑤式平方除以⑥式得: ‎ ‎ ‎ 由得即 ‎ 故,解得 ‎ 因为, ‎ 所以, ‎ 又, ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 令,因为 所以,即, ‎ 所以. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以 ‎ 综上所述: ‎ ．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,已知直线与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0). ‎ ‎(I) 若动点M满足,求点M的轨迹C;‎ ‎(II)若过点B的直线′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.‎ ‎【答案】解:(I)由,∴直线l的斜率为, ‎ 故l的方程为,∴点A坐标为(1,0) ‎ 设 则, ‎ 由得 ‎ 整理,得 ‎ ‎∴点M的轨迹为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆 ‎ ‎(II)如图,由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=k(x-2)(k≠0)① ‎ 将①代入,整理,得 ‎ ‎, ‎ 由△>0得0