邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题及答案.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 河北省邯郸市武安三中2014届高三上第一次摸底 数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、已知集合，若，则的取值范围为（ ）‎ A、 B、 C、 D、R ‎ ‎2、若复数是纯虚数,其中是实数, ,则 A. B. C. D. ‎ ‎3、函数 在点处的切线斜率的最小值是（ ） A. B. C. D.‎ ‎4、已知函数,则的单调递增区间是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5、已知向量满足，且，则在方向上的投影为（ ）‎ A．3 B．. C． D．‎ ‎6、已知函数,则下列区间必存在零点的是 A. B. C. D. ‎ ‎7、一个体积为的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、设等差数列的前项和为,若,则等于 A.45 B‎.60 C. D. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ ‎9、函数的图象为 ‎10、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点O，且经过点M（2，）若点M到焦点的距离为3，则=（ ）‎ A、 B、 C、4 D、‎ ‎11、数列是首项为1，且公比的等比数列，是 的前项和，若，则数列的前5项和为 ( )‎ A、 B、‎5 ‎ C、 D、‎ ‎12、正三棱柱内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知向量，则 .‎ ‎14、若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围 .‎ ‎15、已知，则展开式中的常数项为_________。‎ ‎16、已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1, 2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。‎ 三、解答题（本大题共6道小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）‎ ‎17、已知锐角中的内角的对边分别为，定义向量，且．‎ ‎（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果，求的面积的最大值．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ ‎18、如图,三棱柱ABC—A1B‎1C1中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。‎ ‎(Ⅰ)求证：A1B∥平面AMC1；‎ ‎(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）试问：在棱A1B1上是否存在点N，使AN与MC1成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。‎ ‎19、甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎20、已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。‎ ‎（I）求椭圆的方程。‎ ‎（II）设O为坐标原点，点A、B分别在椭圆C1和C2上，，求直线AB的方程。‎ ‎21．已知函数 且.‎ ‎ （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程； ‎ ‎ （Ⅱ）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围.‎ ‎（每道题满分10分）你选做的是第（ ）题 ‎（22）【选修4—1：几何证明选讲】‎ ‎ 如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC AE=AB，BD，CE相交于点F.‎ ‎ （1）求证：A，E，F，D四点共圆；‎ ‎ （2）若正△ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆的半径．‎ ‎（23）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 在直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 ‎,已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于两点.‎ ‎（1）写出曲线和直线的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列, 求的值．‎ ‎（24）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．C　‎ ‎2．D　‎ ‎3．A　‎ ‎4．C　‎ ‎5．B　‎ ‎6．C　‎ ‎7．A ‎8．B　‎ ‎9．A　‎ ‎10．B　‎ ‎11．C　‎ ‎12．D　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 5　．‎ ‎14．（﹣∞，1]　．‎ ‎15．﹣20　．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ ‎16．　（2，3]　．‎ 三、解答题（本大题共6道小题，满分50分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）‎ ‎17．‎ 解：（Ⅰ），‎ 因为，所以=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，‎ 所以2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+60°）=0，‎ 又△ABC为锐角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accos60°，即16=a2+c2﹣ac，‎ 则16=a2+c2﹣ac≥‎2ac﹣ac=ac，当且仅当a=c时取等号，‎ 所以△ABC的面积，‎ 所以△ABC的面积的最大值是4．‎ ‎　‎ ‎18．：‎ 证明：（Ⅰ）连接A‎1C，交AC1于点O，连接OM．‎ ‎∵ABC﹣A1B‎1C1是直三棱柱，‎ ‎∴四边形ACC‎1A1为矩形，O为A‎1C的中点．‎ 又∵M为BC中点，‎ ‎∴OM为△A1BC中位线，‎ ‎∴A1B∥OM，‎ ‎∵OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，‎ 所以 A1B∥平面AMC1．…（4分）‎ 解：（Ⅱ）由ABC﹣A1B‎1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，‎ 故BA，BC，BB1两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B﹣xyz．‎ 设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），M（1，0，0）．‎ 则=（1，﹣2，0），=（2，﹣2，1），‎ 设平面AMC1的法向量为=（x，y，z），则有 ‎，即 所以取y=1，得=（2，1，﹣2）．‎ 又∵=（0，0，1）‎ ‎∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足 sinθ==‎ 故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为 解：（Ⅲ）假设存在满足条件的点N．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ ‎∵N在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），‎ 故可设N（0，λ，1），其中0≤λ≤2．‎ ‎∴=（0，λ﹣2，1），=（1，0，1）．‎ ‎∵AN与MC1成60°角，‎ ‎∴==．‎ 即，解得λ=1，或λ=3（舍去）．‎ 所以当点N为线段A1B1中点时，AN与MC1成60°角．…（12分）‎ ‎　‎ ‎19．‎ 解：（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，‎ 第二局比赛结束时比赛停止，故，‎ 解得 ‎（2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，‎ 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，‎ 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，‎ 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，‎ 则随机变量ξ的分布列为：‎ 故．‎ ‎　‎ ‎20．‎ 解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为 ‎∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ ‎∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为 ‎∴b=2，a=4‎ ‎∴椭圆C2的方程为；‎ ‎（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），‎ ‎∵‎ ‎∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上 ‎∴设AB的方程为y=kx 将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴‎ 将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴‎ ‎∵，∴=4，‎ ‎∴，解得k=±1，‎ ‎∴AB的方程为y=±x ‎　‎ ‎21．‎ 解：（1）当a=3时，f（x）=x﹣2x2+lnx，‎ 则f′（x）=1﹣4x+，且f（1）=﹣1，‎ ‎∴f′（1）=﹣2，‎ ‎∴在点（1，f（1））处的切线方程是y+1=﹣2（x﹣1），‎ 即2x+y﹣1=0，‎ ‎（2）由题意得，，‎ ‎∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，‎ ‎∴x∈[1，2]时，0恒成立，‎ 即对x∈[1，2]恒成立，‎ 设h（x）=，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，‎ ‎∴=，解得0＜a，‎ 故a的取值范围是（0，]．‎ ‎　‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 四、（每道题满分20分）你选做的是第（）题 ‎22．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵AE=AB，‎ ‎∴BE=AB，‎ ‎∵在正△ABC中，AD=AC，‎ ‎∴AD=BE，‎ 又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，‎ ‎∴△BAD≌△CBE，‎ ‎∴∠ADB=∠BEC，‎ 即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）解：如图，‎ 取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，‎ ‎∵AE=AB，‎ ‎∴AG=GE=AB=，‎ ‎∵AD=AC=，∠DAE=60°，‎ ‎∴△AGD为正三角形，‎ ‎∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，‎ 所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．‎ 由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…（10分）‎ ‎　‎ ‎23．‎ 解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，‎ 即 y2=2ax，‎ 直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2（3分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 代入y2=2ax得到，‎ 则有…（8分）‎ 因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以 即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a）‎ 解得 a=1…（10分）‎ ‎　‎ ‎24．‎ 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，‎ ‎∴①，或②，或③．‎ 解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得 ＜x≤2．‎ 故由不等式可得，‎ 即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，‎ ‎∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．‎ 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ‎